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例えば、
0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、
その計算途中で、
(-1+ai)/(i+a^2)*[exp{(-1-ai)x}](0→∞)となるところがあります。

ここで気になったのが、[ ]内のxに∞を代入したときです。
「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、
何か納得がいきません。
考えなくても良いとは??
そもそも虚数の正負とは??

もちろん、[ ]内が(-1)になると、答えも合います。

このようなとき、「i」をどう見ればよいのでしょう。
虚数がどうしてもはっきりと分からないのです。

どなたか御教授願います。

A 回答 (3件)

>0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、



これがまず書き間違いでしょうね
∫exp(-1-ai)x dx
でしょう.
見にくいので A=-(1+ai)と書きますと
これの原始関数は
(1/A)exp(Ax)ですのでつじつまがあいます.
また,0->∞の積分範囲ですが
「∞を代入する」というのが間違いです
これは
0 -> t の範囲で考えて値を出してから
t->∞の極限をとるという意味です.

本質は
exp(Ax)だけで,なおかつ x=0 を代入すれば 1 なので
結局は
exp(Ax) で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))

ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

とまあ,こういうわけです.

>「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、
というのは,
exp(-x) x (絶対値が1の複素数)
という形になるので0になるという意味です.

とりあえず,複素数の基本事項を
とくに極形式とか複素平面のことをしっかり勉強しましょう.
この手の積分の計算(大抵は留数定理のあたりに出てくる)とかは,
極形式などを熟知していることが前提の話です.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なるほど。exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))で|cos(ax) - i sin(ax)| = 1、何よりこれを考えられなかったことが原因ですね。助かりました。

お礼日時:2007/01/07 21:51

exp{(-1-ai)x} は


 絶対値=1/exp(x)
 偏角=-ax
の複素数ですね。
(x→∞) とすると、絶対値は0 に収束、偏角は不定、というのではありませんか?
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∫exp(-1-ai)dx のexp(-1-ai)は、定数ですから、


∫exp(-1-ai)dx = exp(-1-ai)∫dx となるためではないでしょうか?

この回答への補足

すいません。問題を写し間違えました。×∫exp(-1-ai)dx →○∫exp{(-1-ai)x}dxです。

補足日時:2007/01/07 20:36
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