微分積分の問題5です

関数y=xe^xについて、次の問に答えよ

(1)極値を求めよ

(2)2つの曲線y=xe^xとy=e^xおよびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ

どちらか片方でもいいので解答お願いしますorz

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/06 21:11

(1) y =xe^x

dy/dx = xe^x+e^x = (x+1)e^x
　極値はdy/dx=0にならなければならないので、
　(x+1)e^x = 0
x = -1
極値は-1/e(極小値)　(注)
　（注)極値の判別には増減表を書くか、yの二階微分を求めるなりして判別してくださ
　　　いね

(2) y=xe^xとy=e^xの交点を求めると、
xe^x = e^x
(x-1)e^x=0
x=1
0≦x≦1ではxe^x≦e^x
求めるべき面積 = ∫(0→1)(e^x-xe^x)dx = 1/2(※)

(※)∫(e^x-xe^x)dx = (x^2/2)e^x

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
途中途中にどのようにして考えればいいのかを説明していただけたの
一つ一つ丁寧に考えながら解くことができました。

お礼日時：2012/04/07 17:56

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/06 21:44

(1)

y=f(x)=xe^x
y'=f'(x)=(x+1)e^x
f'(x)=0となるxはx=-1
極値候補のxはx=-1のみ。
f"(x)=(x+2)e^x
f"(-1)=e^(-1)>0
従って
x=-1では極小値をとる。極小値はf(-1)=-1/e 。
極大値は存在しない。

(2)
グラフを描いて積分範囲と積分領域（グラフの上、下の関係）を確認して下さい。
積分範囲は[となるので
面積S=∫[0→1] (e^x -xe^x)dx
=∫[0→1]e^x dx -[xe^x][0→1]+∫[0→1]e^x dx ←部分積分
=2∫[0→1]e^x dx -[xe^x][0→1]
=2[e^x][0→1] -[xe^x][0→1]
=2(e-1)-e
=e-2

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
自分は積分等の計算もあまり得意ではないので順をおって
解き方を説明していただけたので分かりやすかったです。

お礼日時：2012/04/07 17:59