数学の積分の問題なのですが (1+x^2)^(1/2)/x の不定積分の求め方を教えてください

数学の積分の問題なのですが
(1+x^2)^(1/2)/x
の不定積分の求め方を教えてください

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/28 20:11

被積分関数の中で、厄介なカタマリを新変数として

臭いものに蓋をする... というのも、定石のひとつです。
今回例えば y = (1+x^2)^(1/2) と置くと、
y^2 = 1 + x^2 から y dy = x dx,
被積分関数 = y/x なので、
∫{ (1+x^2)^(1/2)/x }dx = ∫(y/x) ((y/x)dy)
　　　　　　　　　　　= ∫{ (y^2)/(x^2) }dy
　　　　　　　　　　　= ∫{ (y^2)/(y^2 - 1) }dy
　　　　　　　　　　　= ∫{ 1 + (1/2)/(y-1) - (1/2）/(y+1) }dy
　　　　　　　　　　　= y + (1/2)log|y-1| - (1/2)log|y+1| + C　；Cは定数
　　　　　　　　　　　= y + log√|(y-1)/(y+1)| + C
　　　　　　　　　　　= √(1+x^2) + log√{ (√(1+x^2) - 1)/(√(1+x^2) + 1) } + C.

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/28 14:17

((1+x^2)^(1/2))/x なら x = tanθ にする。

(1+x^2)^((1/2)/x) なら 手に負えない。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/07/28 14:35