二重積分

D={(x,y)|x>=0,y>=0,2x<=(x^2+y^2)<=4}

∫∫[D](x^2+y^2)^(1/2)dxdy


この問題の答えを以下のようにして出したのですが、間違っているような気がします。あってるかどうか教えていただければ嬉しいです。


D={(x,y)|x>=0,y>=0,2x<=(x^2+y^2)<=4}という条件は、xとyが非負で、x^2+y^2が2xと4の間にある点を表している。これはx-y平面の右上の半径2の円から半径4の円に含まれる領域を表していいる。
∫∫D^(1/2)dxdyは、この領域での関数 (x^2+y^2)^(1/2) の積分である。

この積分を解くには次のようにとく。

∫∫D^(1/2)dxdy = ∫[0,2π]∫2,4^(1/2)r d r dθ

ここで、rは半径、θは角度。

積分を計算すると、

∫[0,2π]∫2,4^(1/2)r d r dθ = (2π/3)(4^(3/2) - 2^(3/2))

となるので答えは、 (2π/3)(4^(3/2) - 2^(3/2))

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/28 20:28

> 半径2の円から半径4の円に含まれる領域

　それだと
　　4<=(x^2+y^2)<=16
ですねー。

　　x = r cosθ
　　y = r sinθ
　　dx dy = r dr dθ
（r＞0)とすれば、積分範囲Dは
　　r cosθ≧0, r sinθ≧0, 2r cosθ ≦ r^2 ≦4
つまり
　　2 cosθ ≦ r ≦2 かつ 0 ≦ θ ≦ π/2
です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/31 13:52