「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー

「f(z)=1/(z^2-1)に関して
ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー展開を使う場合で、
それぞれ、zが0.001の時の近侍値を求めるまでの過程の計算を教えて下さい。」
に関して回答をいただいたのですがわからない点があります。

質問1

「複素関数においては結局のところテーラー
(マクローリン)にせよローランにせよコーシー
の積分表示を使います。例えばテーラーなら
一旦f(z)=1/2πi∫f(z')/(z'-z)dz'(コーシーの積分表示)の
1/(z'-z)を私がやった方法で(z'-a)で級数展開して
ワアヤストラスの級数判定で収束判定して
　Σ(z-a)^nf(z')/(z'-a)^(n+1)がc上で
　f(z')/(z'-z)に一様収束するので項別積分可能になり
f(z)=1/2πi∫[c]f(z')/(z'-z)dz'
=Σ(z-a)^n・1/2πi∫f(z')/(z'-a)^(n+1)dz'
=Σf(n)(a)/n!(z-a)^nとなります。
(a=0ならマクローリン)」
に関して、

ワアヤストラスの級数判定とは初めて聞きました。
Σ(z-a)^nf(z')/(z'-a)^(n+1)はテイラー展開であり、
このテイラー展開はf(z)=1/2πi∫f(z')/(z'-z)dz'(コーシーの積分表示)から導かれたため、
f(z)=1/2πi∫f(z')/(z'-z)dz'(コーシーの積分表示)の式に含まれるf(z')/(z'-z)が収束するため、
f(z)=1/2πi∫[c]f(z')/(z'-z)dz'は積分可能とまではわかったのですが、

f(z)=1/2πi∫[c]f(z')/(z'-z)dz'...①
=Σ(z-a)^n・1/2πi∫f(z')/(z'-a)^(n+1)dz'...②
=Σf(n)(a)/n!
(z-a)^n...③

に置いて、①から②、②から③の導き方がわかりません。どうかわかりやすく過程の計算を教えて下さい。




質問2

「(1)マクローリン
|z-0|^2<1
--> |0.001-0|^2<1 ok
(2) テーラー
|2(z-1/2)|=|2(0.001-0.5)|=|2(-0.4999)|<1 ok」
の|z-0|^2<1と|2(z-1/2)|はどの様な計算過程を経て作られたのでしょうか？

質問3
ちなみに、なぜz-1=z'とおけるのでしょうか？

質問4

テイラー、マクローリン、ローラン展開どの公式でもf(0.001)の値は同じなのでしょうか？に関してはz=0.001と正のz座標であるため、全て同じ値だとわかりました。
テイラーとマクローリンはローランは正の範囲から作られた式であるため、正の範囲ではテイラー、マクローリン(今回はz=0ではなく、z=0.001であるためテイラー展開と同じ式になる)、ローランは全て同じ値になるのは理解しています。


しかし、
すいません。
なんだか少し混乱してしまって、z=0.001と置きましたが、ローラン展開は極となる点で近似式を導く公式であるため、z=1あるいはz=-1の時にf(z)=1/(z^2-1)は極を持ちますが、私はzを0.001と定義しています。
z=1の時に極を持つのに、同じ変数zがz=0.001となっていて混乱してしまいました。

z-1=z'と置いたのは、z→1として、
z-1=1.001-1=0.001となり、この0.001がz'である。z'=0.001と置く。
そして、
「ローラン展開です
中心z=1として z-1=z'
f(z)=1/(z^2-1)=1/(z+1)(z-1)
=1/z'(z'+2)
=1/z'(1/2(1+z'/2))
=1/2z'Σ[n=0,∞](-1)^nz'^n/2^n
=Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^(n-1)/2^(n+1)」
はz=1を中心とした上でz'=0.001をf(z)の式に代入して、z=1を中心とした上でのローラン展開を求める...という事だと思いますが、
なぜz'に置ける近似値を調べたいのにf(z)をローラン展開するのかわかりません。
また、今更で申し訳ないのですが、なぜz=-1(z→-1)の場合わけがないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 04:45

マクローリン展開

の
中心は
z=0
なのだから

ローラン展開
の
中心も
z=0

テイラー展開
の
中心も
z=0

(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心z=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

この回答へのお礼

それはわかっています。
どうか、お時間のある時で構いませんので質問1〜4にお応えして頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/28 22:25

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/27 22:09

実は, ローラン展開は極でないところを中心にしても求めることができるのです.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

って事は、場合分けとしてz=1あるいはz=-1はf(z)=1/(z^2-1)の極としてあるだけだと思いますが、場合分けとしてzは1あるいは-1としたため、変数z'を作り、

z-1=z'と置いて、z→1の場合、
z-1=1.001-1=0.001となり、この0.001がz'である。z'=0.001と置く。

そして、z=1で極を持つ場合でz'=0.001まではわかるのですが、


f(z)=1/(z^2-1)=1/(z+1)(z-1)
=1/z'(z'+2)
=1/z'(1/2(1+z'/2))...①
=1/2z'Σ[n=0,∞](-1)^nz'^n/2^n...②
=Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^(n-1)/2^(n+1)
としてf(z)=1/(z^2-1)をローラン展開したと思うのですが、(過程の計算の①から②では①の式に含まれる(1+z'/2)をテイラー展開して②の式に含まれるΣ[n=0,∞](-1)^nz'^n/2^nとしたと思いますが)

なぜf(z')=ではなく、f(z)としてローラン展開したのかわかりません。
z'での近似値を求めるならばf(z')=としてローラン展開すべきなのでは？と考えています。

ちなみに、過程の計算の①から②では①の式に含まれる(1+z'/2)をテイラー展開して②の式に含まれるΣ[n=0,∞](-1)^nz'^n/2^nとしたと書きましたが、正しいでしょうか？

もし違う場合は、①の式から②の式を導くまでの過程の計算を教えて頂きたいです。

また、z'の近似値を求める上で、なぜz=-1の場合わけが存在しないのでしょうか？

私はz-1=z'を|z-1|=z'として、z=1(z→1)の時にしかz'が0.001にならなかった為でしょうか？
要は、|z-1|=z'で、z=-1(z→-1)の時は
|z-1|=z'は|-1.001-1|=2.001となりz'=2.001となってしまい、z'=0.001でのf(z')の近似値が求まらない為、z=-1(z→-1)の場合わけは無いのだとかんがえています。

お礼日時：2022/08/28 02:04

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/27 20:24

z が 0.001 の時なら、

f(z) = 1/(z^2-1) へ代入するだけでいいじゃない。
f(0.001) = 1/(0.001^2-1) = -1/0.999999
= -1.000001000001000001… ≒ -1.000001