行列A、Bをn次正方行列とする。A、Bがべき零行列かつ可換のとき、A＋Bもベキ零行列であることを示せ

行列A、Bをn次正方行列とする。A、Bがべき零行列かつ可換のとき、A＋Bもベキ零行列であることを示せ。
この問題を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/09 16:19

自然数m,kに対して

A^m=0
B^k=0
とする
A,Bが可換だから二項定理から

(A+B)^(m+k)=Σ_{j=0～m+k}{(m+k)Cj}A^(m+k-j)B^j

m+k-j≧mの時A^(m+k-j)=0
m+k-j<mの時
k-j<0
k<jだからB^j=0
だから

(A+B)^(m+k)=0

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/09 16:01

A^m = O, B^n = O, m ≦ n とする。

(m > n であれば、A, B を入れ替える。)
A, B が可換だから、二項定理が使えて、
(A+B)^(mn) = Σ[k=0..mn] ((mn)Ck)(A^k)B^(mn-k)
右辺の項が O にならないのは、 k < m, mn-k < n の場合だけである。
(m-1)n < k < m ということだが、
この式を満たす自然数 m,n, 非負整数 k の組は存在しない。
よって、(A+B)^(mn) = O.