代数学のわからない問題を教えて頂きたいです。 つぎのn次正方行列の集合Hはn次一般線形群GL(n,R

代数学のわからない問題を教えて頂きたいです。

つぎのn次正方行列の集合Hはn次一般線形群GL(n,R)の部分群であるかどうか示せ。

(1)Hは行列式が正となるn次正方行列全体の集合
(2)Hはn次直交行列全体の集合

(1)は2次で成立したのですが一般的な示し方がわからず、反例も見つかりませんでした。
(2)はとっかかりも掴めなかったです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/20 04:52

GL(n,R)={|A|:|A|≠0}

(1)
H={A:|A|>0}
A∈H→|A|>0→|A|≠0→A∈GL(n,R)→H⊂GL(n,R)
A∈H,B∈H→|A|>0,|B|>0→|AB|=|A||B|>0→AB∈H
|E|=1>0→E∈H
A∈H→|A|>0→|A^(-1)|=1/|A|>0→A^(-1)∈H

(2)
H={A:t(A)A=E}

A∈H
→E=t(A)A→1=|t(A)A|=|t(A)||A|=|A|^2
→|A|=±1≠0
→A∈GL(n,R)
→H⊂GL(n,R)

A∈H,B∈H→t(AB)AB=t(B)t(A)AB=t(B)EB=t(B)B=E→AB∈H
t(E)E=EE=E→E∈H

A∈H
→t(A)A=E
→A^(-1)=t(A)
→t{A^(-1)}A^(-1)=t{t(A)}A^(-1)=AA^(-1)=E→A^(-1)∈H

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/11/20 16:37

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/20 14:56

自分でやらせてあげりゃ良いのにと思うが、それはさておき、(2)のHの要素は正規直交行列だけとは限らないよね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/20 04:38

(1)

H={A:|A|>0}
A∈H,B∈H→|A|>0,|B|>0→|AB|=|A||B|>0→AB∈H
|E|=1>0→E∈H
A∈H→|A|>0→|A^(-1)|=1/|A|>0→A^(-1)∈H

(2)
H={A:t(A)A=E}
A∈H,B∈H→t(AB)AB=t(B)t(A)AB=t(B)EB=t(B)B=E→AB∈H
t(E)E=EE=E→E∈H

A∈H
→t(A)A=E
→A^(-1)=t(A)
→t{A^(-1)}A^(-1)=t{t(A)}A^(-1)=AA^(-1)=E
→A^(-1)∈H

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/19 22:30

ついでに

(1) 行列式の性質を思い出そう
(2) 直交行列の定義は大丈夫?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/19 21:21

とりあえず, GL(n, R) の部分集合が「GL(n, R) の部分群」であるとはどのような条件を満たすときなのか, をきちんと

書いてみたらどうだろう.