(1) 写像f:A→Aとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。
(2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。
上の問題の(1)は以下のように考えました。
f(A) は A の部分集合。
f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。
このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。
わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
Aが有限集合のとき
Aの元の個数を|A|で表わす。
fが単射のとき、|f(A)|=|A|
fが全射ではないとすると、f(A)はAの真部分集合となるので、
|f(A)|<|A|
よって、|A|<|A|となり、矛盾が起こるので、fは全射である。
Aが無限集合のときは、Aの元の個数という概念が通用しないので、
上の議論は成り立たない。
Aとして、自然数全体の集合を考えると、f(n)=2nは単射ではあるが、
全射ではない。
f(A)は偶数全体の集合であるから。
これから、無限集合とは、自分自身の中への単射が存在する、
すなわち、全体と対等な真部分集合を含むような集合である
とも定義できる。
No.3
- 回答日時:
普通は、ディレクレの原理(鳩の巣原理)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B3%A9%E3%81%AE% …
を使って証明するんでしょう。
その証明は(ちょっと論理の飛躍があって完璧ではないですが)
つまり、「有限集合Aは、その真部分集合との間に全単射をもたない」という事実を使っているわけですが、このこと自体が普通は証明の対象だと思います。
授業ですでにやったかなんで、この事実は証明なしで使ってかまわないっていうならOKでしょうが。
回答ありがとうございます。
一応講義で写像の範囲をやりましたが、「有限集合Aは、その真部分集合との間に全単射をもたない」という証明は必要な気がします。やはり私の証明では不完全でしたね。
No.1
- 回答日時:
> 無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。
Aを自然数の集合とした時、「Aの元を2倍にする」という写像は反例になりませんか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∈と⊂の違いは何ですか?
-
数学で、数字の上にある横線の意味
-
有理数÷有理数は絶対有理数なん...
-
数学でのセミコロンについて
-
数字は存在するのか
-
集積点が、まったく分かりませ...
-
∈ と ⊂ のはっきりとした違い
-
1から100までの自然数で、3,4,5...
-
高1数学
-
数字の上のバー
-
部分が全体に等しいのが無限で...
-
要素と、部分集合の違いを教え...
-
(1)PまたはQを通る道順 (2)図中...
-
空集合のべき集合
-
R\\{0} って、0を除く実数って...
-
ACCESSのSQL
-
6以下の自然数全体の集合の要素...
-
【 数I 集合の要素の個数 】 問...
-
保育園・幼稚園で集合写真を購...
-
アレフ2以上の集合?
おすすめ情報