離散数学の集合の証明

以下の離散数学の集合の問題はどの様にして証明すれば良いのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/28 23:23

「Venn図を使って示しただけでは,証明とは認めない.」

明らかに出題者の頭が悪いな。
そういう気の毒な人でも理解できるように、
式で書いて説明してあげるといい。

(1)
y∈f(P∩Q) とすると、f(集合) の定義により y=f(x) かつ x∈P∩Q
となる x が存在する。 x∈P かつ x∈Q であるから、
y∈f(P) かつ y∈f(Q) も成り立つ。よって、y∈f(P)∩f(Q) である。
y∈f(P∩Q) ならば y∈f(P)∩f(Q) とは、
すなわち f(P∩Q)⊆f(P)∩f(Q) ということである。　
(2)
x∈f^-1(P) とすると、f^-1(集合) の定義により f(x)∈P である。
P⊆Q であれば、f(x)∈Q も成り立つ。よって、x∈f^-1(Q) である。
x∈f^-1(P) ならば x∈f^-1(Q) とは、
すなわち f^-1(P)⊆f^-1(Q) ということである。
(3)
X = { 1, 2 }, Y = { 3 }, A = { 1 }, f(x) = 3(定数関数) であれば、
f^-1(f(A)) = X ≠ A である。

問題の要請なので、(1)(2)がこういう答案になるのはしかたがないが、
このような問題はVenn図から一瞬で理解できるようでありたいものだ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/28 23:21

一般に, 2つの集合 A, B に対し A ⊆ B は

A の要素はどれも B の要素である
ことを示すことによって証明します.