Rの半開区間(0,1]と開区間(0,1)が対等であることを次の2通りの方法で示せ。 ①ベルンシュタイ

Rの半開区間(0,1]と開区間(0,1)が対等であることを次の2通りの方法で示せ。
①ベルンシュタインの定理を使う
②直接一方から他方への全単射を求める。

f:(0,1]→(0,1)への関数を考えていたのですが、なかなか作れず、証明も含めて、もしよろしければ教えていただきたいです。

また、疑問なのですが、ベルンシュタインの定理は全単射であることを示すので、①と②は同じことを言っていると思うのですが、違うのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/09/10 11:18

ベルンシュタインの定理とは

集合 A から集合 B に単射 があり、
集合 B から集合 A へも単射があれば、
集合 A から集合 B への全単射があるというものである

①
f:(0,1]→(0,1)
f(x)=x/2
とfを定義する
f(x)=f(a)とすると
x/2=f(x)=f(a)=a/2
x/2=a/2
x=a
だから
fは単射

g:(0,1)→(0,1]
g(x)=x
とgを定義する
g(x)=g(a)とすると
x=g(x)=g(a)=a
x=a
だから
gは単射
集合 (0,1] から集合 (0,1) に単射f があり、
集合 (0,1) から集合 (0,1] へも単射gがあるから
ベルンシュタインの定理から
集合 (0,1] から集合 (0,1) に全単射があるといえるから
∴
(0,1]～(0,1)

②
f:(0,1]→(0,1)
任意の自然数nに対して
f(1/n)=1/(n+1)
任意の自然数nに対して
x≠1/nの時
f(x)=x
とfを定義する

f(x)=f(a)とする

自然数nに対して
x=1/nの時
1/(n+1)=f(1/n)=f(a)
任意の自然数mに対して
a≠1/mと仮定すると
a≠1/(n+1)
1/(n+1)=f(a)=a
となって矛盾するから
a=1/mとなる自然数mがある
1/(n+1)=f(a)=f(1/m)=1/(m+1)
1/(n+1)=1/(m+1)
m+1=n+1
m=n
x=1/n=1/m=a

0<x<1で
任意の自然数nに対して
x≠1/nの時
x=f(x)=f(a)
a=1/mとなる自然数mがあると仮定すると
x=f(a)=f(1/m)=1/(m+1)
x≠1/(m+1)
と矛盾するから
任意の自然数mに対して
a≠1/mだから
x=f(a)=a
x=a
だから
fは単射

自然数nに対して
y=1/(n+1)
の時
f(1/n)=1/(n+1)=y

0<y<1で
任意の自然数nに対して
y≠1/nの時
f(y)=y
だから
fは全射
だから
fは全単射
だから
∴
(0,1]～(0,1)