No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ベルンシュタインの定理とは
集合 A から集合 B に単射 があり、
集合 B から集合 A へも単射があれば、
集合 A から集合 B への全単射があるというものである
①
f:(0,1]→(0,1)
f(x)=x/2
とfを定義する
f(x)=f(a)とすると
x/2=f(x)=f(a)=a/2
x/2=a/2
x=a
だから
fは単射
g:(0,1)→(0,1]
g(x)=x
とgを定義する
g(x)=g(a)とすると
x=g(x)=g(a)=a
x=a
だから
gは単射
集合 (0,1] から集合 (0,1) に単射f があり、
集合 (0,1) から集合 (0,1] へも単射gがあるから
ベルンシュタインの定理から
集合 (0,1] から集合 (0,1) に全単射があるといえるから
∴
(0,1]~(0,1)
②
f:(0,1]→(0,1)
任意の自然数nに対して
f(1/n)=1/(n+1)
任意の自然数nに対して
x≠1/nの時
f(x)=x
とfを定義する
f(x)=f(a)とする
自然数nに対して
x=1/nの時
1/(n+1)=f(1/n)=f(a)
任意の自然数mに対して
a≠1/mと仮定すると
a≠1/(n+1)
1/(n+1)=f(a)=a
となって矛盾するから
a=1/mとなる自然数mがある
1/(n+1)=f(a)=f(1/m)=1/(m+1)
1/(n+1)=1/(m+1)
m+1=n+1
m=n
x=1/n=1/m=a
0<x<1で
任意の自然数nに対して
x≠1/nの時
x=f(x)=f(a)
a=1/mとなる自然数mがあると仮定すると
x=f(a)=f(1/m)=1/(m+1)
x≠1/(m+1)
と矛盾するから
任意の自然数mに対して
a≠1/mだから
x=f(a)=a
x=a
だから
fは単射
自然数nに対して
y=1/(n+1)
の時
f(1/n)=1/(n+1)=y
0<y<1で
任意の自然数nに対して
y≠1/nの時
f(y)=y
だから
fは全射
だから
fは全単射
だから
∴
(0,1]~(0,1)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
推しミネラルウォーターはありますか?
推しミネラルウォーターがあったら教えてください
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
実数全体の集合R→[0,1)の全単射の例を教えてください。 よろしくお願いいたします。
数学
-
全単射の具体例
数学
-
最大元と極大元の定義の違いが分かりません
数学
-
-
4
大学数学 任意の自然数nに対して、Rと区間[n,n+1)は対等であることを示す問題です。 よろしくお
数学
-
5
NからZへの全単射を具体的に構成せよ。 N:自然数、Z:整数 を教えてください。 中々案が思いつかず
その他(教育・科学・学問)
-
6
cos(sin(x))のx=0のにおけるテイラー展開
数学
-
7
複素数 実数 集合 濃度
数学
-
8
大学数学の問題です。 加法群Z/8Zを生成する元をすべて求めよ。 元が分かりません。 よろしくお願い
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
∈と⊂の違いは何ですか?
-
数学で、数字の上にある横線の意味
-
R\\{0} って、0を除く実数って...
-
集合の問題でこのような回答で...
-
数学でのセミコロンについて
-
数字の上のバー
-
何故線型空間はあっても、非線...
-
部分が全体に等しいのが無限で...
-
私がばかなのか?
-
数学の集合について質問です。 ...
-
有理数÷有理数は絶対有理数なん...
-
_ a aの上に書かれている_(ア...
-
(1)PまたはQを通る道順 (2)図中...
-
⊆この記号の意味は?
-
数字は存在するのか
-
置換群(Symmetric Group)と対称...
-
置換全体の集合Snの元の求め方
-
数学の集合が得意な方に質問で...
-
Borel集合の例
-
集合演算について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報