最大元と極大元の定義の違いが分かりません

Question

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

ojisan7 · Accepted Answer

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は３個あります。ちなみに最小限は(0,0)の１個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

kabaokaba · Answer

最大元の定義で

>Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,

ってある「a≦xが成り立つ」という部分がポイント．
これは
・aとxの間に順序が定義できて
・なおかつ，a≦xが成り立つ
という意味．
順序集合ってのは，
任意の元同士で順序が定義できるとは限らない
任意の元同士で順序が定義できるのは「全順序集合」っていう．
順序集合の定義をよくみてみよう．
a≦b，b≦c => a≦c
とかあるけども，これは
「aとb，bとcが順序つけできたら」という前提がある．
大抵の本には「例」としてでている
「べき集合」で「包含関係を順序とする」やつを考えればわかる．

極大元の方は
>a<xとならない
ってある．「a<x」ってのは
・aとxが順序つけできる
・なおかつ，a<xである
ということで，それが否定されているのだから
・aとxは順序付けできない
・または，a>=xである
ということ．
最大元と違うでしょう？

こんな風に分解すれば
どんな元同士でも順序つけできる「全順序集合」なら
同値なのは明らかなのはわかるでしょう

全順序・順序の違いとかは極めて重要です．
例をいろいろ構築して，きちんと理解しましょう．
ここがわかってないと，このあとの各種の帰納法や
Zornの補題とかZermeloの整列可能定理とかが・・
只でさえ黒魔術の呪文に見えるのに，
ますます破滅的に見えて混乱します．

liar_adan · Answer

ここで言っているところの順序集合とは、
すべての元の間に順序関係が定義されているわけではない、
いわゆる半順序集合ですね。
これに対して、すべての元の間に順序関係が定義されているのは、
全順序集合となります。

全順序集合なら、
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ" ⇔ "aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
は成り立ちますが、
半順序集合では同値になりません。
2つの元の間に、順序関係そのものが定義されていない場合があるからです。

たとえば、「大相撲」は全順序集合と言えます。番付順が順序関係です。
大関と横綱では横綱の方がえらく、横綱が複数いれば東の正横綱がえらい。
これに対して、他の場合は一般には半順序集合です。
たとえば「勤め人」の集合を考えます。
会社Aの中では、普通は「社長」が一番エラい。これが極大値になります。
しかし、「A社の社長」と「B社の社長」とでは、どちらが偉いということは定義されません。
この場合、会社の数だけ偉い人の極値(社長)があることになります。

jmh · Answer

> …とは同値だと思います。
> 
証明は？

最大元と極大元の定義の違いが分かりません

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません

最大元の定義で

ここで言っているところの順序集合とは、

> …とは同値だと思います。

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