群論、「部分集合の元による語(ｗｏｒｄ)」について

　　群論の入門書を読んでおりましたら、
部分集合によって生成された部分群を定義するところで
　
　　　　Ｇを群、Ｓ⊂Ｇを部分集合とし、x1,x2,・・・,xn∈Ｓにより
　　　　「ある形」をしたＧの元を、Ｓの元による語(word)という。
　　　　ただし、n=0なら語は単位元を表すとし、±１は各ｘiごとに
　　　　１か－１のどちらでもよいとする。
　　　
　　　　「ある形」は（数式を入力できませんのでことばで説明します）
　　　　Ｓの元x1,x2,・・・xnがあって、これら各元の右肩に±１が付いた
　　　　形をしております。

　というのがあるのですが、ここで　「Ｓの元による語(word)」というのが
どういうものなのか理解できません。
　ご存じの方がおられましたら、初心者向けに分かりやすく解説をお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2011/09/26 18:46

これは、No1の方のように難しく考える必要は無く、

１．Ｓ⊂Ｇを部分集合としたので、Sが単位元や逆元を持つとは限らない。
２．Sの元を基にして部分群を作りたいとする。
３．Gは可換ではないとする。
４．Sの元を含むような部分群の元はどの様な形かを考える。
５．単位元が必要なので、n=0 のときは単位元を表すとする。
６．Sを含む部分群は、Sの元の逆元を含まなくてはならない。これが-1乗。
７．Sの元と、その逆元のいくつかの積はSを含む部分群に入っていなくてはならない。
８．７の積がワードです。
９．このワードの全体が群になれば、これがSを含む最小の部分群となります。
１０．これを、Sによって生成される部分群とでも言うのではないかと思います。

以上。

この回答へのお礼

　早速、回答をいただいておりましたのに、(初めて質問しましたので)気づくのが遅れて済みません。お手数をおかけし申し訳ありません。ありがとうございました。心からお礼申し上げます。これで前へ進めそうな気がいたします。
　　

お礼日時：2011/09/26 21:21

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/09/26 17:33

一種の言葉の定義でしょう．

＞「ある形」をしたＧの元を、Ｓの元による語(word)という。

これは，Ｓの元，x1,x2,・・・,xn∈Ｓを用いて「ある形」に構成されたものを語(word)と呼ぶだけです．

「Ｓの元による語(word)」という意味は，Ｓの元を用いて作った「ある形」のことを語(word)と呼ぶ，というだけの話です．

この場合，語(word)でなくても，他の用語でもいい訳です．

そして，「ある形」をこれから決めて行くのではないのですか？


（注）　私は何か勘違いしてますでしょうか？

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/09/26 16:15

代数学の非常勤（体壊してダウン中）ですが、

もちろんここは守備範囲ですけど。

これねぇ、結構大変なんです。

学生さんだったら、教授に聞いてください。

ちゃんと勉強しないさい。で終わりなんです。

もしも、一般の方でしたら、ホモトープや自由群　というのがでてきているかと思うんですが。

右肩についている、±１　は　回り方　なんですけどね・・・。

この辺りは少しトポロジーも絡むし、部分群　も絡むか。。。

どこまでご存知かということによりますから、早々簡単に書けることではないですね・・。


少なくとも、ｘ１ｘ２≠ｘ２ｘ１　なんてことはすぐに分かるんですが。

ここまでこられているかどうかで全然違います。


抽象的な概念が絡んできますから、難しいのは難しいのですけどね＞＜


学生さんなら、調べてください、教授に聞いてください、お金払っているでしょう？

でおしまいです。

ひとまずここで止めておきます。どこまでご存知かをお知らせください。

そうしないと、表層上滑りになる可能性が高いです。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)