部分群であることを示す問題を解いているときに疑問に思ったので質問です。 Gを乗法群、Hを空でないGの

部分群であることを示す問題を解いているときに疑問に思ったので質問です。

Gを乗法群、Hを空でないGの部分集合とします。
このときHの元x,yに対してxy^(-1)がHの元であればHが部分群であることを示せると思いますが、yの逆元がHの元として存在することは示さなくてよいのですか？

質問者からの補足コメント

• 例えばこの問題なら、このような解答でOKですか？添削希望です。部分群であることの同値関係は証明なしに用いています。

  
    補足日時：2022/11/27 22:59

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/28 04:01

A=0のとき任意の元Bに対して-BがHの元であることを示している

No.4 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2022/11/27 22:38

xy^(-1)のy^(-1)はここではGの元ですよ！

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/27 22:06

> Hの元x,yに対してxy^(-1)がHの元

正確に
　　H⊂G ∧ H≠∅ ∧ ∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ x(y^(-1))∈H…(i)
と書いてみるとわかりやすいかも。

> 示せると思いますが

とか言ってないで、証明すればいいんです。

　群Gの単位元をIとしましょう。すると(i)が成り立っているとき、以下の(1)〜(3)が言えるでしょ：

(1) H≠∅だから、Hの要素aを考えれば
　　 I∈H
(2) (1)より
　　∀y(y∈H ⇒ y^(-1)∈H)
(3) (2)より
　　∀y(y∈H ⇒ ∃z(z∈H ∧ y=z^(-1))
だから、
　　∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ xy∈H)

行間はご自分で埋めてくださいな。

この回答へのお礼

補足見ていただけたら幸いです！

お礼日時：2022/11/27 23:43

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/27 21:46

#1 にもあるけど, 「Hの元x,yに対して」というのはきちんと書くと「H の任意の元 x, y に対して」だよね?

そして, そのような意味であるとするなら「H の任意の元 x, y に対して xy^(-1) ∈ H」であるときには「任意の y ∈ H に対して y^(-1) ∈ H である」といえる. つまり「自動的に成り立ってしまうので示さなくてもよい」んだ... けど, 気になるなら確認してみたら?

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/27 20:34

Hの任意の元x,yに対してxy^(-1)がHの元であればHが部分群であるから

x=1のとき

Hの任意の元y,1に対してy^(-1)がHの元であると示している

Hの全ての元x,y に対してxy^(-1)がHの元である事を示す必要がある

この回答へのお礼

補足見ていただけると幸いです！

お礼日時：2022/11/27 23:43