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f (x,y )={sin(xy )/xy xy≠0
{1 xy=0

次の関数の連続性を調べよ。
この問題が解けません。誰か教えてくれませんか?

A 回答 (2件)

次の関数の連続性を調べよ。


f (x,y )={sin(xy )/xy xy≠0
{1 xy=0
1,連続であるとはlim(δ→0,ε→0) f (x+δ,y+ε)= f (x,y )__①
が成立することである。連続性が問題となるのは、xy=0となる点のみである。
それは、(1)x=0,y≠0、(2)x≠0,y=0、(3) x=0,y=0の3つの場合に分けられる。
それらの点では定義により式①の右辺はf (x,y )=1である。また、次の式②は成立する。
lim(z→0)sin(z)/ z =1__②
(1) (2) (3)のいずれの場合も②により①が成立し、連続である。
(1)x=0,y≠0のとき、式①は③となる。
lim(δ→0,ε→0) f (δ,y+ε)= lim(δ→0,ε→0)sin(δ(y+ε))/δ(y+ε)=1__③
③はz =δ(y+ε)とすると、δ→0のときz→0となり、②により、③は成立する。
(2)x≠0,y=0のとき、式①は④となる。
lim(δ→0,ε→0) f (x+δ,ε)= lim(δ→0,ε→0)sin((x+δ)ε)/(x+δ)ε=1__④
④はz =(x+δ)εとすると、ε→0のときz→0となり、②により、④は成立する。
(2)x≠0,y=0のとき、式①は④となる。
lim(δ→0,ε→0) f (δ,ε)= lim(δ→0,ε→0)sin(δε)/δε=1__⑤
⑤はz =δεとすると、δ→0,ε→0のときz→0となり、δ,εがどのような方向から(0、0)に近付いても②により、⑤は成立する。
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連続である。

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