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xy=0ならばx=0またはy=0
を証明したいのですが、どのように示せば良いのでしょうか?

対偶を示せば良いのかもしれませんが、示し方がいまいち分かりません…

A 回答 (5件)

x,y がどのような数なのか? によりますね。


x,y の範囲が整数だとすれば、
証明は「整数」を定義する方法によって変わることになります。
範囲が実数や複素数だったとしても、事情は同様です。
例えば、x,y が2×2行列の値をとる変数だったりしたら、
反例がありますものね。
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x0=0 ∧ 0y=0だったとしても、 xy=0ならばx=0またはy=0が成立するとは限りません。


実際、xyという演算が
x≧0 ∨ y≧0 ならば x×y
x<0 ∧ y<0 ならば 0
を返す演算だと定義すれば、x0=0 ∧ 0y=0をみたしますが、(-1)(-1)=0なので、xy=0だとしてもx=0またはy=0ではありません。

x≠0 ∧ y≠0 ならばxy≠0という条件が必要です。そして、これこそが「xy=0ならばx=0またはy=0」の対偶です。

通常の掛け算において「xy=0ならばx=0またはy=0 」が成立するのは、「x≠0 ∧ y≠0 ならばxy≠0」だからです。
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xy=0 の両辺を、x,y のうち「ゼロでない」と仮定した方で割ればいいです。

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♪ハ〜イリ ハ〜イリ フレ ハ〜イリホ〜



なんてどうでしょうか。つまり

xy=0 で x≠0 y≠0

と仮定した場合、xyは絶対に0にはならないので証明したい命題が示される、と言う論法です。まあ結局は最初の方の解答と同じ内容ですが、書き方によってはこちらの方が証明っぽく見えるかもしれません。
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対偶なんて不要でしょう?


0の性質は、0・○=0、△・0=0なんだから・・・。
x・y=0なら、x=0またはy=0。

x=0なら、0の性質より0・y=0
y=0なら、0の性質よりx・0=0
∴xy=0ならばx=0またはy=0

対偶を使うなら
x≠0かつy≠0ならば、x・y≠0
対偶はxy=0ならばx=0またはy=0
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