次の方程式を満たす自然数解を求めよ。

次の方程式を満たす自然数ｘ、ｙ、ｚを求めたいのですが、どのように考えればいいでしょうか。

1/x + 1/y - 1/z = 1/2

解は、（x, y, z）=（3,3,6），（3,4,12），（3,5,30）だと思います。
どんな解き方がいい考え方ですか？

質問者からの補足コメント

• 

  解が間違っている！
  （x, y, z）=
  （2,2,2），
  （3,3,6），
  （3,4,12），
  （4,3,12），
  （3,5,30），
  （5,3,30）
  ではないでしょうか。

    補足日時：2019/10/10 10:34

• 

  回答者（stomachmanさん）より正しい解
  
  (x,y,z)=
  (2,k,k) (k=1,2, …）
  (k,2,k) (k=1,2, …）
  (3,3,6)
  (3,4,12)
  (3,5,30)
  (4,3,12)
  (5,3,30)
  
  をいただきました。
  ありがとうございます。

    補足日時：2019/10/10 19:04

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/10/10 11:41

1/x + 1/y - 1/z = 1/2

x,yは対称、すなわち、もし(x,y,z)=(a,b,c)が解なら(b,a,c)も解です。そこでx≦yと仮定して考えます。
● x=1のとき、
　　1/z - 1/y = 1/2
より
　　(x,y,z) ＝ (1,2,1)
が唯一の解です。対称性から(2,1,1)も解。

● x=2のとき、
　　(x,y,z) ＝ (2,k,k) （kは任意の自然数）
はすべて解。なので、対称性から(x,y,z)=(k,2,k)（kは任意の自然数）もすべて解です。(そして、x=1の場合の解はこれらの解に含まれています。）

● x=3のとき、
　　1/3 + 1/y - 1/z = 1/2
これをzについて解くと
　　z = 6y/(6-y)
一方、y≧x, z＞0だから
　　x≦y<6
すなわち y∈{3,4,5}なので
　　(x,y,z) = (3,3,6)
　　(x,y,z) = (3,4,12)
　　(x,y,z) = (3,5,30)
だけが解であり、対称性から(4,3,12),(5,3,30)も解。

● x≧4のとき、方程式を
　　1/y - 1/z = 1/2 - 1/x
と変形すると、
　　右辺 = 1/2 - 1/x ≧ 1/4
なので、
　　1/y - 1/z ≧ 1/4
一方、（x≦yより）1/y≦1/4、そして1/z＞0なので
　　1/y - 1/z ＜ 1/4
でなくてはならず、つまり解はない。

以上まとめると、解は
(2,k,k) (k=1,2, …）
(k,2,k) (k=1,2, …）
(3,3,6)
(3,4,12)
(3,5,30)
(4,3,12)
(5,3,30)

この回答へのお礼

詳解ありがとうございます。（そして、まだまだ解の見落としがあった…）

なるほど、x，yの対称性についての表現方法など、とても参考になりました。

また、
> z = 6y/(6-y)
> 一方、y≧x, z＞0だから
>　　x≦y<6
の部分も、説明としてわかりやすい式変形だなと思いました。

解の漏れをえられたことやx≧4の場合の考察など、理解するのに少し時間がかかりましたが、確かに！と納得することができました。

お礼日時：2019/10/10 18:13

No.8 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/13 09:40

No.7です。

ご指摘ありがとうございます。

１つめ
N=ab ( N、a、ｂは自然数。1<a≦b<N ) とします。
ab+1 と　a+b の大小関係を調べると、
(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0
ab+1 は a+b より大きいことが分かります。
自然数Nを２つの自然数の積に分解したとき、その2数の和が一番大きくなるのは、
N(ab) と１に分解したときで、その最大値は、ab+1 です。

いま、xy=2m で、x+y　の最大値は、2m+1
x+y=3m より、2m+1=3m とおくと、m=1 となります。
2m+1 と 3m の差は、ｍが大きくなるにつれてひろがりますので、
ｍ≧２のとき、2m+1 と 3m は等しくなりません。
よって、m=1 です。

２つめ
１つめと同様にｍをつければよいでしょうか？
(ⅰ) z+2=m , mxy=2z(x+y)
(ⅱ) z+2=m(x+y) , mxy=2z

(ⅰ) z=m-2 より、mxy=2(m-2)(x+y)
この式は、Ⓐの式と変わりはないですから、ｚを場合分けしたのと同じようにｍを場合分けして
解きます。

(ⅱ) z=m(x+y)-2 より、mxy=2{m(x+y)-2}
mxy-2m(x+y)+4=0
m(x-2)(y-2)=4(m-1)
m と m-1 は互いに素。

m=2 , (x-2)(y-2)=2
これより、ｚを求めると、z=12 、ｚは奇数なので不適。

m=4 , (x-2)(y-2)=m-1=3
これより、ｚを求めると、z=30 、ｚは奇数なので不適。

今回、[1],[2],[3]と場合分けして解きましたが、本来は場合分けせずに、この解き方で
求まるのではないかと思います。[3]の場合を解く中で、[1],[2]の解がちらちらと現れました。
しかし、うまい方法が見つからず場合分けして解きましたが、ご指摘のあったｍの扱いがこの
解き方のポイントのような気がします。残念ながら、このあたりが限界のようなので、ここまでと
させていただきます。ありがとうございました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ab と a+b の大小関係の不等式は大変参考になりました。
また、z=1の場合について解決しました。

zが奇数のとき、2,z,z+2が互いに素なことを利用して議論を進める方法なわけですが、
(z+2)xy=2z(x+y)　のとき、私は、
xyが2zの倍数だから xy=2zm, x+y=(z+2)m とおけると考えます。

〉(ⅰ) z+2=m , mxy=2z(x+y)
〉(ⅱ) z+2=m(x+y) , mxy=2z
の場合分けについて、なかなか理解ができません。

重ねて回答をいただき、ありがとうございました。私の理解力不足で十分なお礼に至りませんが、参考になったことがいくつかありました。

お礼日時：2019/10/14 11:43

No.7 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/11 17:31

1/x + 1/y - 1/z = 1/2

[1]
① ３つが等しい場合。x=y=z のとき、
1/x + 1/x - 1/x = 1/2
1/x = 1/2 より、x=2 , y=z=2
(2,2,2)

[2] ２つが等しい場合。
② x=z のとき、
1/x + 1/y - 1/x = 1/2
1/y= 1/2 より、y=2 , x=z
(k,2,k) ｋは自然数

③ y=z のとき、
1/x + 1/y - 1/y= 1/2
1/x= 1/2 より、x=2 , y=z
(2,k,k)

④ x=y のとき、
1/x + 1/x - 1/z = 1/2
2/x - 1/z = 1/2
(2z-x)/xz=1/2
2(2z-x)=xz
4z-2x=xz
xz+2x-4z=0
(x-4)(z+2)=-8

x-4≧-3 , z+2≧３　より、
(1) x-4=-2 , z+2=4 より、x=2 , z=2
(2,2,2) ①の場合

(2) x-4=-1 , z+2=8 より、x=3 , z=6
(3,3,6)

[3] 3つとも等しくない場合。x≠y≠z のとき、
(yz+xz-xy)/xyz=1/2
2(yz+zx-xy)=xyz
2yz+2zx-2xy=xyz
2z(x+y)=xy(z+2)……Ⓐ

(1) ｚが奇数のとき、
ｚ+2 も奇数。
ｚとｚ+2と２は互いに素。

⑤ z=1 のとき、
2(x+y)=3xy

x+y=3
xy=2

ｘ、ｙは2次方程式、ｔ²-３ｔ+２＝０の解。
(t-2)(t-1)=0
t=1 , 2
x≠y≠z より不適。

⑥ z≠1 のとき、
Ⓐより、
(ⅰ) z+2=1 , xy=2z(x+y)
z=-1 より、不適。

(ⅱ) z+2=x+y , xy=2z
t²－(z+2)+2z=0
(t-2)(t-z)=0
t=2 , z
x≠y≠z より不適。

(2) zが偶数のとき、z=2n (ｎは自然数)
Ⓐより、
4n(x+y)=xy(2n+2)
2n(x+y)=xy(n+1)
n と n+1 は互いに素。

⑦ n=1 のとき、
2(x+y)=2xy
x+y=xy

x+y=xy=k とおくと、
ｘ、ｙは t²－kt+k=0 の解。
この判別式D＝k²-4k
ｘ、ｙが自然数となるためには、D＝０
しかし、ｘ、ｙが重解になり、x≠y≠z より不適。

⑧ n≠1 のとき、
(ⅰ) n+1=1 , xy=2n(x+y) より、n=0 , 不適。

(ⅱ) n+1=2 , xy=n(x+y) より、n=1 , xy=x+y ⑦の場合

(ⅲ) n+1=x+y , xy=2n のとき、
n=x+y-1 より、
xy=2(x+y-1)
xy=2x+2y-2
xy-2x-2y+2=0
(x-2)(y-2)=2

(ア) x-2=1 , y-2=2 より、x=3 , y=4 , n=x+y-1=6 , z=2n=12
(3,4,12)

(イ) x-2=2 , y-2=1より、x=4 , y=3 , n=x+y-1=6 , z=2n=12
(4,3,12)

(ⅳ) n+1=2(x+y) , xy=n のとき、
n=2(x+y)-1 より、
xy=2(x+y)-1
xy-2x-2y+1=0
(x-2)(y-2)=3

(ア) x-2=1 , y-2=3 より、x=3 , y=5 , n=xy=15 , z=2n=30
(3,5,30)

(イ) x-2=3 , y-2=1 より、x=5 , y=3 , n=xy=15 , z=2n=30
(5,3,30)

①から⑧より、
(x,y,z)=(k,2,k) , (2,k,k) , (3,3,6) , (3,4,12) , (4,3,12) , (3,5,30) , (5,3,30)
kは自然数

この回答へのお礼

お礼が遅くなりすみません。きとんと理解したいと思い、ノートに書きとりながら、１つ１つ考察を進めています。このアプローチは、他の回答と違った趣向を感じていて興味がわいています。

私の理解力がないばかりかと思いますが、２つ質問させてください。

●１つめ

場合分け z:奇数 z=1 の部分について
> ⑤ z=1 のとき、
> 2(x+y)=3xy
>
> x+y=3
> xy=2

x+y = 3 ，xy=2 と断言できる理由はなぜですか？
x+y = 3m ，xy=2m （mはある整数）という主張を超えて、m=1 となる理由が理解できないでいます。

●２つめ

場合分け z:奇数 z≠1 の部分について
なぜ
(ⅰ) z+2=1 , xy=2z(x+y)
(ⅱ) z+2=x+y , xy=2z
と２つの場合に分けられるのでしょうか？(ⅰ)よりも(ⅱ)が難しい…。

zは自然数
2z(x+y)=xy(z+2)……Ⓐ
2 と z と z+2 は互いに素

からその２つの場合に分かれる理由は？

お礼日時：2019/10/12 17:23

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/10/11 13:17

#5です。

訂正します。
2/x>2/x-1/z≧1/x+1/y-1/z=1/2 → x<4 → x≦3
でした。

この回答へのお礼

重ねての回答ありがとうございます。
1/zは正数ですもんね。
x≦3，x≦4では大きく違いますね！
慎重な議論ありがとうございます。

お礼日時：2019/10/12 16:07

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/10/10 22:09

#2さんで終わりなのですが、はじめに、ある変数の範囲を決定してから議論するのが定番

です。でないと、どこまで、x=1,2,・・・などとしていけばよいか見通しが立たない。

始めに、対称性から x≦yとして議論する。すると
2/x≧2/x-1/z≧1/x+1/y-1/z=1/2 → x≦4 は簡単に出る。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

> 2/x≧2/x-1/z≧1/x+1/y-1/z=1/2 → x≦4 は簡単に出る。

記述されると、なるほど～と思うのですが、
なかなか自分では導けないなぁ…と、残念な自分にがっかりするばかりです。
複数変数の方程式、不等式は難しいなぁ。

お礼日時：2019/10/11 09:43

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2019/10/10 13:23

No.1です　お礼の質問について

No.2様も考察されていますが

(1/x)+(1/y)=(1/2)+(1/z) と変形して考えると

(1/x)+(1/y) ≦ (1/4)+(1/4) =1/2 < (1/2)+(1/z) から等号が成立しないことがわかります

この回答へのお礼

x,y≧4　の場合について、

(1/2)+(1/z) = (1/x)+(1/y) ≦ (1/4)+(1/4) =1/2
(1/2)+(正数) = (1/2) となり矛盾ということですね。

理解まで時間がかかりましたが、納得することができました。

1/x + 1/y - 1/z = 1/2

から、x,y ≧ 4 のとき、左辺の全２項が最大で 1/2 、そこから 正数 1/z を引いて 右辺の 1/2 に一致することはない、と自然に理解できるように感じてきました。回答のお陰です。

お礼日時：2019/10/10 18:59

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/10 12:34

仮にｘ、ｙ、ｚで一番小さい自然数をｘ、一番大きい自然数をｚとします(x<y<z)。

1/2=1/x + 1/y-1/z <2/xー1/z
１＜４/x-2/z
１＜4/x-2/z<4/xからｘ＜４のｘ＝１，２，３
ｘ＝１の場合
1/y=1/z-1/2を満たすｙ、ｚはない。
ｘ＝２の場合
1/y=1/z、ｙ＜ｚなので満たすｙ、ｚはない。
ｘ＝３の場合
1/y = 1/６+ 1/z=(z+6)/6zを満たすｙとｚは（4，12）,
(5,30)まででY≧６からｚ＝（ｚ＋６）となりこれを満たすｚはない。
この場合（ｘ、ｙ、ｚ）＝（３、４，１２）、（３，５，３０）

次にｘ、ｙ、ｚで一番小さい自然数をｙ、一番大きい自然数をｚとします(ｙ<ｘ<z)。
1/2=1/x + 1/y-1/z <2/ｙー1/z
１＜４/y-2/z
１＜4/y-2/z<4/yからy＜４のy＝１，２，３
y＝１の場合
1/x=1/z-1/2を満たすx、ｚはない。
y＝２の場合
1/x=1/z、x＜ｚなので満たすｙ、ｚはない。
y＝３の場合
1/x = 1/６+ 1/z=(z+6)/6zを満たすxとｚは（4，12）,
(5,30)まででｘ≧６からｚ＝（ｚ＋６）となりこれを満たすｚはない。
この場合（ｘ、ｙ、ｚ）＝（４、３，１２）、（５，３，３０）

次にｘ、ｙ、ｚで一番小さい自然数をｚ、一番大きい自然数をｘとします(ｚ<ｙ<ｘ)。
1/2=1/x + 1/y-1/z <2/ｙ
１＜４/y
y＜４のy＝１，２，３
y＝１の場合
1/x=1/z-1/2を満たすx、ｚはない。
y＝２の場合
1/x=1/z、ｚ＜ｘなので満たすｘ、ｚはない。
y＝３の場合
1/x = 1/６+ 1/z=(z+6)/6zを満たすxとｚはｚ＜ｘなのでない。

次にｘ、ｙ、ｚで一番小さい自然数をｚ、一番大きい自然数をｙとします(ｚ<ｘ<ｙ)。
1/2=1/x + 1/y-1/z <2/ｘ
１＜４/ｘ
ｘ＜４のｘ＝１，２，３
ｘ＝１の場合
1/y=1/z-1/2を満たすy、ｚはない。
x＝２の場合
1/y=1/z、ｚ＜yなので満たすy、ｚはない。
x＝３の場合
1/y = 1/６+ 1/z=(z+6)/6zを満たすyとｚはｚ＜yなのでない。

以上から（ｘ、ｙ、ｚ）＝（３、４，１２）、（３，５，３０）、（４、３，１２）、（５，３，３０）

(x<y<z)で等号を使わないと（ｘ、ｙ、ｚ）＝（３、３，６）は出てきませんが、等号を使うと（ｘ、ｙ、ｚ）
を感で探ることになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

①最初の場合わけ（ｘ＜ｙ＜ｚ）のところの
> x=3 の場合
> 1/y = 1/６+ 1/z=(z+6)/6zを満たすｙとｚは（4，12）,
> (5,30)まででY≧６からｚ＝（ｚ＋６）となりこれを満たすｚはない。
のくだりで、(y,z)=(4,12),(5,30)の導出は、y=4,5,6,…を代入して、１つ１つｚの方程式を作って分析している、という理解でよいでしょうか？それとも、1/y =(z+6)/6z　から、簡単な考え方（自明な考え）でその２解が出てくるのでしょうか？

②（ｘ＜ｚ＜ｙ）や（ｙ＜ｚ＜ｘ）の場合については、自明にのぞかれるのですか？
少し考えてみたのですが、簡潔に説明が見つかりませんでした。


> １＜4/x-2/z<4/xからｘ＜４のｘ＝１，２，３
のところで、ｘが１，２，３に限定されるところがわかりやすかったです。
とても参考になりました。

お礼日時：2019/10/10 18:54

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/10/10 10:35

3 ≦ x ≦ y と条件を設定すると

4 ≦ x では不成立なので x=3
(1/y) =(1/6) + (1/z) より y の候補は 3,4,5

y=3, z=6
y=4, z=12
y=5, z=30

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

>4 ≦ x では不成立なので
はどうしてですか？

お礼日時：2019/10/10 11:36