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ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合

V=xyzの極小値を、x+y+z=3、xy+yz+zx=1の条件下で解く問題がわかりません。
ラグランジュ乗数を二つ使って解けと言われたのですが。
式は立てることができても、答えが出ません。
どなたかお助けください。
お願いします。

A 回答 (2件)

未定乗数をa,bとし、


f=xyz-a(x+y+z-3)-b(xy+yz+zx-1)
を、x,y,z,a,bについてそれぞれ偏微分。
5つの未知数と5つの条件式が得られますね。
f_x=yz-a-b(y+z)=0 ・・・(1)
f_y=xz-a-b(z+x)=0 ・・・(2)
f_z=xy-a-b(y+x)=0 ・・・(3)
f_a=-(x+y+z-3)=0  ・・・(4)
f_b=-(xy+yz+zx-1)=0 ・・・(5)

(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)よりそれぞれ
(x-y)(z-b)=0 ・・・(6)
(y-z)(x-b)=0 ・・・(7)
(z-x)(y-b)=0 ・・・(8)
が得られます。

一方(4)(5)より、zを消去すると、
xy+yz-zx
=xy+(x+y)(3-x-y)=1 ・・・(9)

(6)より、
[1]x=yの場合
 (9)に代入し、3x^2-6x+1=0。これを解いて、
 x=y=(3±√6)/3, z=3-(x+y)=(3-+2√6)/3
  ※"-+"は、"±"の上下を反対にしたものの意味。
[2]z=bの場合
 (7)(8)より、(x-b)(y-b)=0なので、
 [2-1]x=bの場合(すなわち、z=x=b)
 [2-2]y=bの場合(すなわち、y=z=b)
 に分けて考えればよいです。
 これらは、制約条件式のx,y,zに関する対称性より、
 [1]の{x,y,z}を、それぞれ{y,z,x}、{z,x,y}と
 置き換えたものと等価になります。

以上から[1]の場合だけ考えればよく、
得られたx,y,zの値から、
xyz=-1-+4√6/9 となり、これより最小値は-1-4√6/9。

※備考※
3次方程式の解と係数の関係から、x,y,zを3解にもつ
3次方程式はt^3-3t^2+t-v=0と表せますので、
これが3実解(含む重解)をもつようなvの範囲を
見出すことでも求められますね。tで微分して極値を
求めていけばよいことになります。
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>式は立てることができても、答えが出ません。


やった所までの途中計算を補足に書いていただければチェックします。

単に機械的に偏微分して連立方程式を解くだけ。
その結果6通りの実数解の組が求まります。
その6通りのx,y,zの組と未定乗数2つの組が出ますので
その内のx,y,zの組をVに代入すれば
以下の3通りずつの組
[(3+2*sqrt(6))/3,(3-sqrt(6))/3,(3-sqrt(6))/3],
[(3-2*sqrt(6))/3,y=(3+sqrt(6))/3,z=(3+sqrt(6))/3]
に対してそれぞれ最大値と最小値をとり
最大値が (4/9)√6-1≒0.08866
最小値が -(4/9)√6-1≒-2.08866
と出てきます。
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