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次の問題の解説をお願いします。

座標平面上で,点P(x, y) が -1≦x≦1, -1≦y≦1 を満たしながら動くとき,点Q(x+y, x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ。

X = x+y, Y = x^2+y^2 と置いて,この後の発想が何ともわからなく,,ご教示お願いいたします。

A 回答 (2件)

X = x+y, Y = x^2+y^2



としたならば,XとYが満たす条件を求めるということです.

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか?

x+y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう.

さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても,この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか?

X=0とかやってみると
x+y = 0
xy = -y^2 = -Y/2
なんだから Y=-10 とかしたらもうアウト.

ということで,X,Yは(A)をみたすようなx,yが存在することが必要十分です.
つまり
ここでさらに考える.
x+y = A
xy = B
という形の連立方程式ってのは
じつは
t^2 -At + B = 0
っていう方程式の解です.

ということで,
t^2 - X t + (X^2-Y)/2 = 0
という方程式が
-1<= t <= 1
の「(重解を含めて)二つの解」を持つ条件を考えればいい.

f(t) = t^2 -X t + (X^2-Y)
とおけば
f(-1)>=0 f(1)>=0
f(X/2) <= 0
-1 <= X/2 <=1
あたりってところかな.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そうなんです,,回答文にある,

>さて,ここで発想の逆転.XとYの条件を求めたいのだけど

の考え方が浮かばずに,悩んでいました。
ダメな考え方を一例でも出して頂けると,すんなりと,読めます。

だから,次の発想に行きついたのだと思います。
>t^2 -At + B = 0
でも,よく,このような発想が出てくるものだな――,と感心します。
オリジナルな発想力は,私自身,あきらめますが,
このような,素晴らしいアイディアを数多く学べたらと思います。
ありがとうございます。

お礼日時:2011/11/24 09:28

X=x+y,Y=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2xy


xy=(X^2-Y)/2
x,yは、解と係数の関係から次の2次方程式の2つの解となります。
 t^2-Xt+(X^2-Y)/2=0
この2つの解がx,yなので
 -1<={X-√(X^2-(X^2-Y)/2)}/2<=1 かつ  -1<={X+√(X^2-(X^2-Y)/2)}/2<=1
これを整理すれば
 Y<=X^2-2X+2, Y<=X^2+2X+2, Y>=X^2/2 の共通領域
(3つの放物線Y=(X-1)^2+1,Y=(X+1)~2+1,Y=X^2/2で囲まれる領域(境界線を含む))
が求める点Q(X,Y)の存在領域である。

 図は描けるでしょう。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
Q(X,Y)の存在領域まで導いていただき,助かります。
図は,描くことができました。

お礼日時:2011/11/24 09:29

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