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1/∞=0は、なぜ?
=ではなくて、≒なの?

A 回答 (6件)

 


「1/∞」というような式は、正しい数学の式では、存在しません。

∞というのは、「数ではない」のです。∞は、「限りなく大きくなる」ということを示す記号です。「限りなく大きい」とはどういうことかというと、「考えられる非常に大きな数を考えると、何時でも、その数に、1を加えるなり、10倍するなりすると、もっと大きな数がある」ということです。

実際、どんな大きな数を考えても、それに1を加えれば、1大きな数がありますし、10倍すれば、10倍大きい数があることになります。

「これ以上大きい数はない」というような「数はない」のです。

だから、∞は、∞という数ではなく、「どこまでも大きい数を考える・限りなく大きくなる」ということを示す記号なのです。

1をどんな数で割っても、ゼロにはなりません。割る数をどんどん大きくして行くと、結果は、どんどん小さくなり、限りなく0に近づいて行きますが、決して0にはなりません。

1を∞で割るというのは、∞という数があって、それで1を割るのではなく、限りなく大きな数で割り、割る数を限りなく大きくして行くということを意味しているのです。

幾ら大きな数で割っても、答えは限りなく0に近づくが、決して、0にはならないので、もし、記号で、「1/∞」というような書き方をするなら、1/∞≒0なのです。

lim (n→∞)1/n=0 と書きますが、この式は、普通の=0ではなく、「限りなく0に近づく」ということを意味しています。

0を「極限の値」と言いますが、極限の値というのは、実は、その値に「限りなく近づく」ということで、その値には、決してならないのです。しかし、実用的には、0だと考えても差し支えないということです。
 
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この回答へのお礼

ありがとうございます。自分では、lim (n→∞)1/n=0 をあたりまえのようにつかっていましたが、普通の=0ではなく、「限りなく0に近づく」ということなんですね。ということは、たとえば円錐などの体積は、×1/3に限りなく近づくということで、その値には、決してならないということでしょうか。

お礼日時:2002/08/03 19:16

1/∞ がどのような文脈で出てきたのかわからないので、1/∞ が何を表しているのか、考えてみます。



普通、数学では、 / という記号は、左に分子の数を書き右に分母の数を書き、全体としては分数を表します。

∞は数ではありませんから、1/∞ という書き方は上記の書き方には合っていません。

それなのに、1/∞=0 という書き方があるなら、左辺は
「第n項が 1/nである数列の極限値」
を意味するのだろう、という気がします。

ここで心配なのは、「第n項」だとか「数列」だとかいうことは質問に書いていないので 質問で言う1/∞ と同じかどうかですが、勝手に決めさせていただきました。
(ということで、もし、これが質問の 1/∞ の意味と異なる、ということなら、これ以降を読むのはムダかもしれません。)

「第n項が 1/nである数列」の項の値を書き並べていくと、
1、1/2、1/3、1/4、1/5、……
となっていて、値が0に収束することがわかります。
 つまり、この数列の極限値は0です。

ということで、左辺は0です。
そして、右辺は0ですから、左辺と右辺は等しく、1/∞=0 は成立します。


これまでのご回答者の方々の回答を見てみると、私の結論と違うことが書いてあるようです。
それは、質問の 1/∞ が何を意味しているのかよくわからないので、解釈が分かれたんだと思います。

本来なら、1/∞=0 が真なのか偽なのか考える前に、まず、1/∞ が何を意味するのかはっきりさせる必要があると私は考えます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。円錐の体積を考えていて、数列を使っていたのです。

お礼日時:2002/08/03 19:20

そうですね、


まずY=1/X のグラフを考えましょう。これは反比例のグラフですね。

このグラフをみると横軸(X軸)を右のほうこう、すなわちXが大きくなる方向にもっていくとYは限りなくOに近づきます。

このことからあなたのいわれるように正確には
1/∞≒0が正しいといえますが、無限大は見ての通り、限りなく大きいということなのです。
だから、結局0からのずれが無視できるくらい0に近づくと考えるため1/∞=0として考えます。

また実際の考え方は#2の方が書かれているlimの考え方が一般です。1/∞とはあまり書きません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2002/08/03 19:22

横に線を引いて真ん中が0右側を正(+)左側を(負)とすると


∞というのは限りなく大きいという事です。

そこで限りなく大きい数字で1を割ると0に限りなく近づくという事なので
≒です。(0に収束していくという事です)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。かなりすっきりしました。

お礼日時:2002/08/03 19:23

多分、nが無限大に向かうとき、1/nは1/∞となり、0になるいうことではないでしょうか?


正確に言うと、0にはなりません。限りなく0に近づきます。
lim(1/n)=0と同じことです。
n→∞
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/08/03 19:24

すいません、質問が矛盾してるような気がするのですが、


なぜ=0と聞いているのに、
下で=ではなくて、≒なの?
と聞いているのでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。計算では、=0として扱っていますが、はたしていいのだろうかと思ったのです。

お礼日時:2002/08/03 19:25

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