子供の塾の問題です。
--------------------------------------------
x-a・sinx=1 (0<a<1)…①
の異なる実数解の個数を求めよ。
--------------------------------------------
塾の解答
--------------------------------------------
単に(?)①の左辺-右辺=x-asinx-1=f(x)とおくとf'(x)=1-acosx>0で単調増加。
lim(x→‐∞)f(x)=-∞、lim(x→∞)f(x)=∞よりf(x)はx軸と一点で交わる。よって実数解の個数は1個。
--------------------------------------------
子供の解答
--------------------------------------------
「文字定数を含んだ方程式・不等式を処理する場合は、定数分離して解くのが安全」と教わっていた子供は
sinx=0とすると、①の左辺=x,①の右辺=1となりx=1。
これはsinx=0の条件と矛盾するので、sinx≠0
よって、a=(x-1)/sinxと変形し、y=aとy=(x-1)/sinxの交点の数を求める。
↓
難しいぃ!
--------------------------------------------
そこで、思ったのですが
(1)定数分離がうまくハマる問題の目安って何でしょうか?
(2)今回のように定数とペアの関数が三角関数だと、難しくなってしまうのでしょうか?
このあたりについてお詳しい方、参照すべき文献とかurlなどについてご案内の方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1) 定数値によって、解が異なる(今回のケースだと実数解の個数)場合は、定数分離を使うほうが解きやすい場合もあります。
(2) aの範囲や、提示されている三角関数がcos, tanだと、難しくなる可能性があります。
ご回答ありがとうございます。
確かに、三角関数が取り組み相手だと振動していて、そもそもからして、定数分離には向かないと判断すべきなのかもしれません。
No.1
- 回答日時:
変数分離でも十分解けます。
ヒントは-1≦sinx≦1です。
なので、1/sinxは1より大きいか、-1より小さいです。
よって、y=a(0<a<1)との交点を考えるので、
1<x<2の範囲で考えれば良いのです。
お返事ありがとうございます。
確かに、
------------------------------------------------------------------
sinx≠0を断った後、
f(x)=(x-1)/sinx
0<a<1なので0<(x-1)/sinx<1となる範囲のみを考える。
(1)0<sinx<1のとき
sinx>x-1,x-1>0→0<x-1<sinx<1→1<x<2
0<sinx<1を満たし、適す。
(2)-1<sinx<0のとき
sinx<x-1,x-1<0→-1<sinx<x-1<0→0<x<1
-1<sinx<0を満たさず、不適。
f'(x)=(sinx-cos(x-1))/(sin^2x)
分母>0、分子は1<x<2で単調増加し、かつ、x=1で正(詳細略)
よって、f'(x)は単調増加。
f(1)=0,f(2)=1/sin2>1に留意して0<a<1なるaに対して
y=f(x)とy=aの交点は一個。
------------------------------------------------------------------
と、定数分離してもとけるようではあります。
しかし、とても煩雑に感じられ、受験数学的には「文字定数を含んだ方程式・不等式を処理する場合は、定数分離して解くのが安全」とは言えない場合がある、と思った次第です。
で、定数分離かけてから撤退するよりも、簡便な判別方法があればいいなとも思うのですが、、
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 -π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数を求めよという問題の解 1 2023/02/06 18:20
- 数学 数学の問題です。回答よろしくお願いします。 sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin( 3 2022/09/21 10:40
- 数学 数学トリック!間違ってるところを指摘してください。 「問題。sinx+2/sinxの最小値を求めよ。 3 2022/09/21 10:52
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 高校 数3 面積 4 2022/05/11 12:37
- 数学 t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、 6 2022/11/21 22:59
- 数学 aを実数の定数とする。xの方程式 (x²+2x)²ーa(x²+2x)ー6=0 の異なる実数解の個数を 4 2023/02/13 23:15
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
- 数学 ①lim x→∞で1/xだった場合は発散しないため限りなく0に近い解が求められるのでしょうか? 例え 7 2022/05/16 19:27
- 数学 1変数関数に陰関数ってあるんですか? 1変数関数は f(x)=xの式 f(x)はxの値で決まるもの( 4 2023/05/08 18:47
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1/∞=0は、なぜ?
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
方程式にバーをつけることがで...
-
数2 この問題で、この3つの辺...
-
質問です。 a+b+c=0のとき、...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
正の数aを6でわると、商はbで余...
-
xを7で割ると商がaで余りがbに...
-
等式記号に似た三本線
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
exp(-x) =~ 1/(1-x)への計算
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
'='と':='の記述の違い
-
「ab≠0 ⇒ a≠0またはb≠0」...
-
比について
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
教えてください!
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
等式記号に似た三本線
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
計算式の問題です。
-
高2恒等式
-
数学における 等価と同値って同...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
xy-x-y+1 【因数分解】
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
組み合わせの公式
-
次の式を因数分解せよ。 x³-3x ...
おすすめ情報