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x^n+1をx^2+x+1で割った余りをどう求めるか教えてください。

A 回答 (3件)

書いてないが、nは自然数なんだろう。




A(x)を商とすると、x^n+1=(x^2+x+1)*A(x)+(ax+b)となるから、aとbの値を求めると良い。
x^2+x+1=0 は (x-1)*(x^2+x+1)=0から x^3=1。
x^2+x+1=0の1つの解をωとすると、ω^3=1、ω^2+ω+1=0 であるから、mを自然数として、n=3m、n=3m+1、n=3m+2 の3つの場合わけが必要になることに気がつく。

(1) n=3mの時 x^n+1=(ω^3)^n+1=2=aω+b。 aとbは実数から、a=0、b=2。
(2) n=3m+1の時 x^n+1=(ω^3)^n*ω+1=ω+1=aω+b。 aとbは実数から、a=b=1。
(3) n=3m+2の時 x^n+1=(ω^3)^n*ω^2+1=ω^2+1=-ω=aω+b。 aとbは実数から、a=-1、b=0。
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x+1=(x^2+x+1)(0)+x+1


x^2+1=(x^2+x+1)(1)-x
x^3+1=(x^2+x+1)(x-1)+2
ここまで求めておけば,あとは
 x^(n+3)+1=(x^3-1)(x^n)+(x^n+1)=(x^2+x+1)(x-1)(x^n)+(x^n+1)
 だからx^(n+3)+1をx^2+x+1で割った余りと,x^n+1をx^2+x+1で割った余りは等しい。
ということから,繰り返すだけ。
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こんばんわ。



割る式が 2次式ですから、余りは 1次式以下であることはわかりますね。
ひとまず、ax+ bとでも置きましょう。
すると、
x^n+ 1= (x^2+ x+ 1)* Q(x)+ ax+ b

と表すことができます。
あとは、x^2+ x+ 1= 0となる xの値(2つ)を代入して、係数比較をすればいいのですが。

x^2+ x+ 1= 0ならば、両辺に xをかけて
(左辺)= x^3+ x^2+ x= x^3+ (-x-1)+ x= x^3- 1
右辺は 0のままですから、整理すると x^3= 1となります。

ここまでくると、nの値で場合分けが必要になることが見えてくると思います。
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