x^n-1を(x-1)^2で割った時の余りを求めよという問題があります。
nは2以上の整数とします。
(ちなみに、「xのn-1乗」ではなく、「xのn乗-1」です。)
この問題は、まずx^n-1を(x-1)^2で割った時の商をQ(x)、余りをsx+tとおいて、
x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1)
という等式を作ります。
そして、両辺にx=1を代入して0=s+t、変形してt=-sという式を得ます。―(A)
これを(1)に代入し(文字を減らし)、次に
x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+…+1)
であることを利用して(1)との組合せで解くのですが、腑に落ちない点があります。
上記の(A)でxに1を代入してtとsの関係式を求めていますが、なぜt=-sを(1)の式に代入できるのでしょうか?
何が言いたいかといいますと、
「t=-sはx=1の時だけ成り立つのでは?この解答を読んでいると全てのxにおいてt=-sが成り立つかのように見えてしまう」
ということです。
ものすごく初歩的なことを訊いているような、数学の大前提を理解していないような気がして怖いのですが・・・気になっています。
よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
> t=-sはx=1の時だけ成り立つのでは?
結論から述べると、“x=1 のときだけ”というのは誤りです。
(x=1 のときを含めて、)全てのxにおいてt=-sが成り立ちます。
なぜかというと、
x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1)
は、左辺と右辺が同じ式であるように s と t を求めようとしています。
だから、“恒等式”を調べていることになります。
s と t ってなんだろう?よくわからないけど、
恒等式なんだから、少なくとも x=1 のときは成り立つはずだ!
つまり、x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1) は、
( s や t や Q(x) はよくわかっていないけど、x=1 を代入する操作をすると)
0=s+t を満たす性質を持っている!
ということがわかったわけです。
☆恒等式を解いているということがポイントです
参考になれば幸いです(・へ・)
ありがとうございます。
xの値によってs,tを別個に考えることにしてしまうと話が進みませんね・・・。
0=s+tを満たす性質を持っているという文章が分かりやすかったです。
そこから広げていこうということですね。
No.3
- 回答日時:
普通は、そんなことせずに、
x^n-1 に y=x-1 を変形代入して、
y の式として整理するんですが…
それはともかく、御質問の点については、
A No.1 に既に書かれてあるように、
(1) が全ての x で成立するためには
x=1 のときも成立していないといけない
ということです。
それが成り立たない s,t は解にならないので、
そこから先は、0=s+t である s,t の中から
更に候補を絞ってゆけばよい。
候補を絞るために、0=s+t のとき何が言えるか
を考えます。そのために、t=-s を代入して
式を変形しているのです。
ありがとうございます。
恒等式だから、x=1のときに成り立たなければいけない、つまり、s+t=0が成り立たなければならない・・・ということですね。
まずs+t=0が確認できたので、そこから絞っていくという意味もやっと理解できました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
5x+7y=1の整数解を全て求めよ ...
-
複素数の2次方程式がわかりません
-
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り
-
環Rが整閉整域ならば、多項式環...
-
連立方程式を代入法で解くか、...
-
a^2x-4-1<a^x+1-a^x-5の考え...
-
複素数の計算の問題についてで...
-
中3二次方程式について
-
漸化式 an+bn√3=(2+√3)^n 自...
-
X=√3+2、Y=√3-2のと...
-
7で割ると3余り、11で割る...
-
恒等式における数値代入法について
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
式の変形
-
連立方程式の解き方
-
高2数学の問題
-
剰余の定理の応用問題 解き方...
-
整式の問題です
-
3次式
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
逆元の計算方法
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
S₁=?、S₂=?、S₃=?
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
連立方程式の解き方
-
数列について
-
arctanxをf(x)とし、そのn回微...
-
次のような連立方程式がある。
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
式の変形
-
(中学数学)大小2つの自然数が...
-
量子力学の交換関係について
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
代入法なのに、逆の確認をしな...
-
代数学の問題です
-
一次不定方程式の整数解のうち...
-
複素関数 sin(x+iy)について
-
高1 数学A 56x-73y=5の整数解...
-
複素数の計算の問題についてで...
おすすめ情報