5x+7y=1の整数解を全て求めよ と言う問題です (x-3)は7の倍数 (y+2)は-5の倍数 と

5x+7y=1の整数解を全て求めよ
と言う問題です
(x-3)は7の倍数 (y+2)は-5の倍数 と答えに書いてありましたが
(x-3)は-7の倍数 (y+2)は5の倍数 ではダメなのですか？
どっちでやっても 5(x-3)=-7(y+2)は成り立ちますよね？
でも答えが違うのになっちゃいます。二個目の方ではなぜダメなのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/03/04 10:06

あなたの解答で、試しにk=1を入れると、間違っていることが分かります。

k=1とすると、
x=10, y=7となります。

これを5x+7y=1に代入すると、
5*10+7*7=50+49=99となってしまい、1にはなりません。

今回のケースでは大きく二つの意味で間違いがあります。
「互いに素」をいうためには、互いの係数を正の数にそろえる必要があります。

一つ目の間違いは、5*(x-3)+7*(y+2)=0の段階で「互いに素」をいっているところです。
ｘとyの関係を左辺と右辺で表す式に変形する必要があります。

5*(x-3)+7*(y+2)=0
5*(x-3)=7(-y-2)

この段階で「互いに素」をいう必要があります。
続けると、

5と7は互いに素なので、
x-3=7k（kは整数）とすると、
x=7k+3（kは整数）

同様に、-y-2=5k（kは整数）とすると
y=-5k-2（kは整数）

よって、5x+7y=1の整数解は、

x=7k+3, y=-5k-2（kは整数）

になります。

二つ目の間違いは添削した先生の間違いです。
上記の通り、y=-5k-2が正しく、添削後のy=-5k+2は間違いです。

x=7k+3, y=-5k-2（kは整数）で、試しにk=1とすると、
x=10, y=-7となります。

これを5x+7y=1に代入すると、
5*10+7*(-7)=50-49=1となり、x=10, y=-7が解の一つであることがお分かりいただけるかと思います。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/03/03 21:30

ダメじゃ無くて合ってますよ。

kを0とマイナスを範囲とした整数(0,±自然数)ならば、どちらの答も同じになりますよ。

kに具体的整数(・・・、-2,-1,0,1,2・・・・)を代入してx,yを求めれば、順番が違うだけで、どちらの場合も同じになる事が確認出来ると思うけど・・・・。

No.2 回答者： lawson 回答日時： 2018/03/03 20:58

5(x,y)は5(x-3)と読み替えて、

書き間違えました

No.1 回答者： lawson 回答日時： 2018/03/03 20:57

5(x,y)=-7(y+2)

と考えて。kを使って
計算し。
x=-7k+3
y=5k-2
これを、その1


-5(x,y)=7(y+2)
と考えて。tを使って
計算し。
x=7t+3
y=-5t-2
これを、その2

その1のkと
その2のtと、
にちょうど±が逆になってる
値を代入していけば。

同じx, yの組み合わせが
でてくる。

だから、
その1、2はどっちでやってもよいと思います。