![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
そろそろ時間もたったことだし,ちょっと詳しく書いてみる。
Xの整式X^75-2X^50+3X^25をX^2-X+1で割ったときの商をQとして,余りをaX+bとする。
2次式で割った余りなのだから1次以下の式になることはわかっているよね。
この条件を式にすれば
X^75-2X^50+3X^25=(X^2-X+1)Q+aX+b (A)
です。ここでX^2-X+1=0の相異なる解であるαとβを考えて(αとβが重解で等しいなどということはないこともわかるよね。),まずαを(A)に代入してみる。
α^75-2α^50+3α^25=(α^2-α+1)Q+aα+b
ここでα^2-α+1=0になるので,式は簡単になる。つまり
α^75-2α^50+3α^25=aα+b (B)
です。次にα^75などを何とかするわけですが,α^2-α+1=0からα^2=α-1がわかる,つまり2次式を1次式にすることができることがわかっているので,それを次々に適用すれば75次式も1次式になる。したがって安心して計算してよい。しかし直接α^2=α-1を使うのはうまくない。次数を上げたものも計算しておきます。
α^3=α*α^2=α(α-1)=α^2-α=(α-1)-α=-1
になりました。そして
α^6=α^3*α^3=1
です。これを使えば
α^75=α^69=α^63=...=α^9=α^3=-1
α^50=α^44=α^38=...=α^8=α^2=α-1
α^25=α^19=α^13=...=α^7=α
になります。したがって(B)は
-1-2(α-1)+3α=aα+b
α+1=aα+b (C)
なりました。今までにやったことは同じようにβにも適用できるから
β+1=aβ+b (D)
になります。(C)-(D)を計算すると
(α-β)=a(α-β)
が導かれてαとβ等しくありませんから,α-βで割ってa=1が導かれます。これをたとえば(D)に代入すれば
β+1=β+b
となり,b=1となりました。
結局これで余りはX+1だとわかりましたね。
No.7
- 回答日時:
この問題って, #2 にある「x^2-x+1=0 の解を α, β とすると α^3=β^3=-1」がほとんどすべてなんだよな~.
これに気づいてしまえばちょろちょろっと計算するだけで解けてしまう. つまり, そもそも α も β も不要.
No.3
- 回答日時:
どう考えても簡単に解く鍵が見つかりません。
Xの整式は因数分解できる形だけど関係なさそう。
Xの整式をX^2-X+1で実際に割るわけにもいかない。
時間がかかりすぎるし、その分間違える可能性が高くなるし。
問題間違ってないですか?最終的には問題の記入ミスを疑うしかありません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 写真の問題で剰余の定理を用いて、別解の手順から a=2 b=8と求まるところまではわかるのですが、な 2 2022/08/07 13:12
- 数学 数II 剰余の定理と因数定理 整式P(x)をxで割った余りが-4,x-2で割った余りが7である。 P 2 2022/07/03 13:38
- 数学 数2剰余の定理の問題です。 写真の問題の途中式でなぜ a+b=3 2a+b=1 なのかがわかりません 2 2022/03/27 10:34
- 大学受験 合同式 1 2022/09/03 12:37
- 数学 代数の質問です 2 2022/04/30 14:10
- 数学 x^nを(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ 2 2022/04/23 16:08
- 数学 数1余弦定理 三角形ABCにおいてa=2√3、b=3-√3、C=120°のとき 残りの辺の長さと角の 5 2022/11/24 21:27
- 統計学 2^1201を1925で割った余りを求めるにはどのように解いたらいいですか? 合同式の問題です。 カ 4 2022/07/29 15:45
- 数学 2次方程式「ax²+bx+c=0」は α、βを前者の式の2解と置いた時、 a(x-α)(x-β)=0 2 2022/08/05 19:24
- 数学 余りの問題 2 2022/07/28 12:29
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
逆元の計算方法
-
【マクロ】for next構文について
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
arctanxをf(x)とし、そのn回微...
-
式の変形
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
X=√3+2、Y=√3-2のと...
-
次のような連立方程式がある。
-
数列について
-
(高3)4元2次方程式がとけません。
-
連立方程式の解き方
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
複素数の2次方程式がわかりません
-
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り
-
代入法なのに、逆の確認をしな...
-
3つの連立方程式
-
高校数学
-
分母にX+Yがある連立方程式
おすすめ情報