証明です

ａ＋ｂ＋ｃ＝０のとき、ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＝３ａｂｃが成り立つ事を示したいのですが、
まず予式をａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３－３ａｂｃ＝０になおしました。そして、ａ＋ｂ＋ｃ＝０よりｃ＝－ａ－ｂとして予式に代入すれば、証明が出来ると思うのですが、なかなかできません。
とても簡単な証明かと思いますが、教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/23 09:32

ti-zuさん、こんにちは。

＃２yuusukekyoujuさんと同じことなんですが、

＞ａ＋ｂ＋ｃ＝０よりｃ＝－ａ－ｂとして予式に代入すれば、証明が出来ると思うのですが、なかなかできません。

方針は、このti-zuさんのやり方で、バッチリですね。
与式を＝０の形に直さなくても、そのままいけます。

c=-(a+b)
これを、左辺に代入します。

a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+(-(a+b))^3
=a^3+b^3+{(-a)+(-b)}^3
=a^3+b^3+(-a)^3+3(-a)^2(-b)+3(-a)(-b)^2+(-b)^3
=a^3+b^3-a^3-b^3-3a^2b-3ab^2
=-3a^2b-3ab^2
=-3ab(a+b)
　　　↑
ここの、a+bに、a+b=-cを代入すると、
=-3ab(-c)
=3abc＝右辺

となるので、これで証明できましたね。
ご参考になればうれしいです。
c={(-a)+(-b)}
と考えて、３乗してやると公式が使えますね。
多分、この符号が分かりにくかったのでは？
頑張ってください。

この回答へのお礼

今回も丁寧な回答をありがとうございます。公式を使う方法もありますね。いろいろなやり方をしてみます！！

お礼日時：2003/07/23 17:46

No.4 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/07/23 12:34

ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）

というふうに因数分解できます。
これは覚えておかないとわかりにくいと思いますので覚えてしまったほうが良いと思います。
確かにc=・・・の形に直してもできますが、この因数分解の形を覚えていたら早くできますね。
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）
ａ＋ｂ＋ｃ＝０だから
右辺＝０
よってａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝３ａｂｃ

この回答へのお礼

最終的に私もこの方法で証明しました。回答、有難うございました。

お礼日時：2003/07/23 17:46

No.2 回答者： yuusukekyouju 回答日時： 2003/07/23 07:13

a^3+b^3+c^3-3abcとなおしたあとｃ＾3のところのみに

c=-a-bを代入してください。
a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+(-a-b)^3-3abc
=-3a^2b-3ab^2-3abc
=-3ab(a+b+c)
となりますね。
a+b+c=0ですから当然上記の式は0となります。

この回答へのお礼

a+b+c=0を利用するのを忘れていました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2003/07/23 17:44

No.1 回答者： ririnnnohitori 回答日時： 2003/07/23 06:01

ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３－３ａｂｃを因数分解してみてはどうでしょうか?

この回答へのお礼

因数分解ですか。やってみます。

お礼日時：2003/07/23 17:40