複素数の計算の問題についてです。 (問)x=3+√3i/2のとき、x^4-4x^2+6x-2の値を求

複素数の計算の問題についてです。

(問)x=3+√3i/2のとき、x^4-4x^2+6x-2の値を求めよ。

こういった問題では、1つ目の式のxを解に持つ2次方程式を作り、わり算をするそうですが、なぜ最後「余り」に代入するのかが分かりません。

解答を見て理解しようとしたのですが、特に画像の赤線以下から置いてきぼりになりました。

この解答が、どのようなプロセスを経て答えに達しているのか、出来るだけかみ砕いた解説をお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/01 21:59

x=(3+√3i)/2のとき、x⁴-4x²+6x-2……①　の値を求めなさいと言われたら、そのままｘの値を①の

式に代入しても頑張れば求めることができます。しかし、工夫をすると簡単に求められるということ
で、①の式を変形します。

x⁴-4x²+6x-2=(x²-3x+3)(x²+3x+2)+3x-8……②

②の式が成り立つということは、②の式の左辺(①) に代入する代わりに、②の右辺に代入しても同じ値
が求まるということです。なぜ最後「余り」に代入するのかということですが、「余り」だけに代入し
ているわけではなくて、②の式の右辺のすべてのｘに代入しています。
ところが、x=(3+√3i)/2 は、x²-3x+3=0 の解なので、x=(3+√3i)/2 を x²-3x+3 に代入すると値は
０になります。これより、(x²-3x+3) と (x²+3x+2) の積 (x²-3x+3)(x²+3x+2) の値も０になります。
したがって、「余り」以外の部分は消えてしまうので「余り」だけに代入しているように見えます。
結局は、②のように変形すれば「余り」に代入すればよいということになります。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2020/03/01 22:10

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/01 21:43

置いてきぼりも何も、その写真の文章に理由が

＞ この x に与えられた数値を代入すると, x^2-3x+3 = 0 となるので
と書いてある。なぜ読まないの？

与式 = (x^2-3x+3)(x^2+3x+2) + (3x-8) が既に計算してあって
そこへ x^2-3x+3 = 0 となるような x を代入したら、
与式 = 0(x^2+3x+2) + (3x-8) = 3x-8 が成立することになる。

与式より簡単になった 3x-8 へ x = (3+√3i)/2 を代入すれば済むので、
そうなるように2次式 x^2-3x+3 を見つけたのだった。

ところで、君の書き込みは「商」と「割る式」が逆だね。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/03/01 20:23

余りが 0 と云う事は、割り切れる と云うこと。

割り切れる と云う事は、元の式を 0 と置いたときの
答えの一つが 与えられた x の値であると 云うことになります。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/01 20:21

x^4 - 4x^2 + 6x - 2をx^2 - 3x +3で割った時の商をP(x)、余りをQ(x)とすると、

x^4 - 4x^2 + 6x - 2=P(x)(x^2 - 3x +3)+Q(x)

x=(3+√3i)/2より、x^2 - 3x + 3=0、商P(x)がどのような多項式かは関係なくP(x)とx^2 - 3x + 3=0の掛け算は0となる。
よって、余りQ(x)にだけ着目すればよく、余りQ(x)に値を代入すれば、求める答えが得られる。