歯ブラシ選びの大事なポイントとは?

漸化式 an+bn√3=(2+√3)^n 自然数nで
一般項an,bnを求めよ。

次のように考えましたが、分からないがありますので
よろしくおねがいします。
a(n+1)+b(n+1)√3=(2+√3)(2+√3)^n これより
a(n+1)=2an+3bn..(1),b(n+1)=an+2bn..(2)
次に、a(n+1)-αb(n+1)=β(an-αbn)とおく。
これに(1)(2)を代入すると、
(2-α-β)an=(-3+2α-αβ)bn...(3)
ア、2-α-β=0のとき、
  -3+2α-αβ=0で、これより、α^2=3となり、........
イ、2-α-β=0 でないとき、
 (3)を2-α-βでわると an=kbn とおける。k=(-3+2α-αβ)/(2-α-β)
これを、(1)に代入すると、kb(n+1)=(2k+3)bn
ここら辺から、自分で何をやっているのか、分からなく収拾がつかなくなってきました。
よろしく、おねがいします。





 
 

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A 回答 (6件)

(No.2 が、スマートですが…)



質問の解法が頓挫したのは、何のために式(3)を立てたのかを
途中で見失ったからでしょう。

(3)を満たす全てのα,βを求める義理はないので、
場合分けを行う必要はありません。

もともと、これを満たすα,βがあれば便利なんだがな
…ということで立てただけの式です。
もし、
2 - α - β = 0,    …(4)
-3 + 2α - αβ = 0  …(5)
を満たすようなα,βがあれば、(3)が任意の n で成り立ちますから、
そのα,βを使って、a[n+1] - α b[n+1] = β (a[n] - α b[n])
という漸化式が作れます。

(4)(5)から、2組のα,βが得られるので、
a[n] - (α1) b[n] = { a[1] - (α1) b[1] }(β1)^(n-1),  …(6)
a[n] - (α2) b[n] = { a[1] - (α2) b[1] }(β2)^(n-1)  …(7)
と書けます。
(6)(7)を連立一次方程式と見て
a[n] =
b[n] =
の形に解けば、完了です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
イの場合から、もし何かでたとしても、
アの場合からのα,βでa[n+1] - α b[n+1] = β (a[n] - α b[n])
に変形できるので、それで十分であるということですね。

お礼日時:2010/09/16 08:22

イがだめなのはそのように具体的に数値を代入してもわかりますし, 数値を入れなくても分かります.


つまり, kb(n+1)=(2k+3)bn から k an = 3bn なので an = k bn とあわせると k^2 = 3 で k は有理数にならない.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
また、数列が自然数という条件を忘れていました。
これで解決できました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/09/16 16:47

イ はそのままいくと「ありえない」ことがわかるはずです.


まあ, #4 で指摘されているように「しなくていい努力」ではありますが.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
イの場合、「ありえない」ということで、理由を考えてみました。
an=k*bn としたとき、n=1とき、k=2となり、n=2のとき、k=7/4となる。
だから、任意のnに対して、an=k*bn が成り立つkが存在しないから
「ありえない」のでしょうか。

お礼日時:2010/09/16 08:40

「質問のような解答のばあい、どうなるのか教えてください。

」と書かれてますが, 「何」が「どうなる」ことを問うているのでしょうか? この「解答」において, あなたはどのような戦略をとっているのですか? 試行錯誤するときに「とりあえず書けることを書く」のは問題ないのですが, ちゃんと証明するときまでそのようなスタンスで行くとこのように「何をやっているのか自分でもわからない」ことになりがちです. あらかじめ戦略 (証明の筋道) を書いておけば, (あなたを含めて) 読む人に親切というもの.
あと, #1 についていうと, あなたはそこで書かれていることをまったく理解していません. #1 でいわれているのは「この問題の条件だけでは an, bn を一意に決めることができない, あなたがわざわざ秘密にしなければならない条件があるはずだ」ということです.
言い換えると,
an = (2+√3)^n, bn = 0
が「すべての n に対して an + bn√3 = (2+√3)^n」を立派に満たすのになぜ排除されねばらなないのか, ということ.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質問をうけて条件がぬけていたことに気づきました。
「自然数数列anとbn」という条件を落としてしまいました。
これがなかったら、考えられませんでした。
問題が不備で失礼しました。よく問題を把握できていないので数学の問題を
解けないのだと改めて思いました。

質問の内容は、解答は、アとイに場合わけが必要になると思います。
このうちア、のときはよいのですが、イ、のときの書いたところまでは、間違っていないか。
もし、間違っていなかったら、このあとはどう処理すればいいのか。
ということでした。

お礼日時:2010/09/15 15:48

an + √3bn = (2 + √3)^n


an - √3bn = (2 - √3)^n


an = [ (2 + √3)^n + (2 - √3)^n ] / 2
bn = [ (2 + √3)^n - (2 - √3)^n ] / 2√3
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
an - √3bn = (2 - √3)^n
は数学的帰納法で証明されて、
回答のような解答になるのは、わかるのですが、
質問のような解答のばあい、どうなるのか
教えてください。

お礼日時:2010/09/15 10:59

>a(n+1)=2an+3bn..(1),b(n+1)=an+2bn..(2)



こんなことがなぜ言えるのですか。

an+bn√3=(2+√3)^nだけなら

an=(2+√3)^n
bn=0

も一つに解だと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
a(n+1)+b(n+1)√3=(2+√3)^(n+1)
よりわかります。

お礼日時:2010/09/15 11:01

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x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるので、
x^(-1)をxで微分すると-x^(-2)となります。
よって8x^(-1)をxで微分すると-8x^(-2) = -8/(x^2)となります。

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a1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して
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(2) an<2 となることを示せ
(3) lim an を求めよ
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Aベストアンサー

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、
任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。

a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、
(2) も、帰納法で示せます。

(1) より前に、(2) を兼ねて、
0 < a[ ] < 2 か 1 < a[ ] < 2 を帰納法で示してしまったほうが、
話の流れがスムースかもしれません。

(1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、
lim[n→∞] a[n] は収束します。
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。

(*) Bolzano-Weierstrass の定理
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3be153db59f09c5327a4480f1694a1c9.html

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
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