x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り

x^n-1を(x-1)^2で割った時の余りを求めよという問題があります。
nは2以上の整数とします。
（ちなみに、「ｘのn-1乗」ではなく、「xのn乗-1」です。）

この問題は、まずx^n-1を(x-1)^2で割った時の商をQ(x)、余りをsx+tとおいて、

x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1)

という等式を作ります。

そして、両辺にx=1を代入して0=s+t、変形してt=-sという式を得ます。―(A)

これを(1)に代入し（文字を減らし）、次に

x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+…+1)

であることを利用して(1)との組合せで解くのですが、腑に落ちない点があります。

上記の(A)でxに1を代入してtとsの関係式を求めていますが、なぜt=-sを(1)の式に代入できるのでしょうか？

何が言いたいかといいますと、

「t=-sはx=1の時だけ成り立つのでは？この解答を読んでいると全てのxにおいてt=-sが成り立つかのように見えてしまう」

ということです。

ものすごく初歩的なことを訊いているような、数学の大前提を理解していないような気がして怖いのですが・・・気になっています。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tsukita 回答日時： 2013/02/28 11:13

> t=-sはx=1の時だけ成り立つのでは？

結論から述べると、“x=1 のときだけ”というのは誤りです。
（x=1 のときを含めて、）全てのxにおいてt=-sが成り立ちます。

なぜかというと、
x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1)
は、左辺と右辺が同じ式であるように s と t を求めようとしています。
だから、“恒等式”を調べていることになります。

s と t ってなんだろう？よくわからないけど、
恒等式なんだから、少なくとも x=1 のときは成り立つはずだ!
つまり、x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1) は、
（ s や t や Q(x) はよくわかっていないけど、x=1 を代入する操作をすると）
0=s+t を満たす性質を持っている!
ということがわかったわけです。


　☆恒等式を解いているということがポイントです

　　参考になれば幸いです（・へ・）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

xの値によってs,tを別個に考えることにしてしまうと話が進みませんね・・・。

0=s+tを満たす性質を持っているという文章が分かりやすかったです。
そこから広げていこうということですね。

お礼日時：2013/03/03 14:50

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/27 15:26

普通は、そんなことせずに、

x^n-1 に y=x-1 を変形代入して、
y の式として整理するんですが…

それはともかく、御質問の点については、
A No.1 に既に書かれてあるように、
(1) が全ての x で成立するためには
x=1 のときも成立していないといけない
ということです。

それが成り立たない s,t は解にならないので、
そこから先は、0=s+t である s,t の中から
更に候補を絞ってゆけばよい。
候補を絞るために、0=s+t のとき何が言えるか
を考えます。そのために、t=-s を代入して
式を変形しているのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

恒等式だから、x=1のときに成り立たなければいけない、つまり、s+t=0が成り立たなければならない・・・ということですね。

まずs+t=0が確認できたので、そこから絞っていくという意味もやっと理解できました。

お礼日時：2013/03/03 14:35

No.2 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/02/27 13:01

普通はいきなり

x^n-1=(x-1)^2・Q(x)+s(x-1)
とおいて、両辺を微分して
n・x^(n-1)=2(x-1)・Q(x)+(x-1)^2・Q'(x)+s
にx=1を代入します。
数IIIの「積の微分」を使えるという前提ですけど。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

数IIIはやっていないですね・・・。
やる時がきたらまた考えてみます。

お礼日時：2013/03/03 14:31

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/27 00:11

最低限 x=1 で成り立たないと恒等式にならないでしょ?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

皆様の言っていることがよく理解できず、少し考えていたのですが、やっと分かりました。

お礼日時：2013/03/03 14:30