数学について

7で割ると２余り、9で割ると６あまるような4桁の自然数のうち最小のものを答えよ

の問題について高１でもわかる説明で解説誰かお願いします。。。。。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/18 19:21

この問題のコツは、7 と 9 から 1 を作ることです。

7×4-9×3=1 は、思いつきますか？

x=7n+2=9m+6 すなわち 7n-9m=4 を解くためには、
上記の式を 4 倍して 7×16-9×12=4 を得、
辺々引き算して 7(n-16)-9(m-12)=0 を得ます。
7 と 9 が互いに素であることから、
n-16 が 9 の倍数、m-12 が 7 の倍数であり
n-16=9k, m-12=7k と置けることが判ります。
もとの式へ代入して x=7n+2=63k+114 となります。

63k+114 のうち 4 桁で最小のものは、
63k+114=1000 の解が k≒14.06… であることから、
x=63×15+114=1059 です。これが答え。

7×4-9×3=1 を思いつかなかった場合は、
7 と 9 で互除法をやってみるとよいです。
9÷7=1あまり2
7÷2=3あまり1
2÷1=2　　　　　←割りきった 1 が最大公約数
これらの式を あまり=… の形に書き換え、
2=9-7×1
1=7-2×3
中間のあまりを代入消去すれば、
1=7-(9-7×1)×3=7×4-9×3
となって、=1 の式が得られます。

No.2 回答者： mnakauye 回答日時： 2012/12/18 00:56

　　これは文字を使えば、次のようになります。

求める数を、A　としましょう。

　Aは、７で割ると２あまりますから、　７の倍数たす２です。　　A=7n+2　とかける。
　　　　 ９で割ると６あまりますから、　9の倍数たす６です。　　A=9m+2 とかける。

　さて、まず一つ目の回答として、（多分もし学校の宿題ならこのやり方）

　　代数です。　同じAですから、7n+2=9m+6

7n = 9m+4

だから　n=(9m+4)/7=(7m+2m+4)=m+(2m+4)/7

左辺の　n　は整数ですから、右辺の分数の部分（２ｍ＋４）割る７は、割り切れなければなりません。

　　　　　　　　　　そこで、２ｍ＋４は７の倍数であるということがわかります。

　　　　　　　　　　しかも２ｍ＋４＝２（ｍ＋２）なので、偶数です。ということは、２ｍ＋４は14の倍数である。

　　　これでたとえば4桁でということを考えなければ、一番小さいｍは14になる、２ｘ５＋４の５ですよね。

　　　次は、４桁ということを考えて、ｍを考えますと、もとの数が、　

　　　　９ｍ＋６＞１０００ですから、９ｍ＞９９４となって　整数を考えると、ｍ＞１１０

　　　　　　ｍは１１１かそれより大きい。

　　　　　　したがって、２ｍ＋４＞＝２ｘ１１１＋４＝２２６ですから、２２６かそれ以上で１４の倍数となります。

　　　　　　２２６割る１４は、１６あまり２ですから、一番小さい求める数２ｍ＋４＝２３８（１４の１７倍）

　　　　　　　これをとくとｍ＝１１７で、もともと求めたい数　Aは、９ｍ＋６でしたから　９ｘ１１７＋６＝１０５９

　　となります。

　　７で割ってみると確かに２余りますよね。

以上が、数一の範囲での答えです。

　小学校ならどうするのでしょうか、それにはいくつかを試して規則性を見つけ出させます。

　　７で割ると２余る、９で割ると６余るという数　（上の　A　）は、規則が複雑です。そちらかの条件を易しくします。

　例えば、７で割り切れる数は、Aの近くにあります。　そうです、もとの数より２少ない数ですね。

　だから、条件を易しくしたこの数を見つければ、　Aは見つかることになります。

　このように数学は必ず「複雑な問題を、少し易しい問題に置き換える」ことで解けるようになります。

　では、A-2　（文章で書くとややこしいので文字を使いますが）　はもうひとつの条件からはどんな数でしょう。

　２小さいのですから、９で割ると、６－２の４が余るはずです。

　だから、７の倍数で、９で割ると４余る数を探すということになります。


　そこで、７の倍数を順に９で割ってみましょう。

　　１４　は　５余る
　　２１　は　３余る
　　２８　は　１余る
　　３５　は　８余る
　　４２　は　６余る
　　４９　は　４余る
　　５６　は　２余る
　　６３　は　割り切れる
　　７０　は　７余る
　　７７　は　５余る
　　８４　は　３余る
　　９１　は　１余る

　これで規則が見つかりました、繰り返していますね。整数の倍数の話ですから、規則が繰り返し表れるのです。

では目的の数　９で割ると４余る数（A－２のこと）とは・・・・・・

　７でも９で割り切れる倍数の２つ前の７の倍数です。

　つまりは、７と９の公倍数６３の倍数の２つ前の７の倍数ということになります。

これで、１０００を超える６３の倍数を探し、それよりも２つ前の７の倍数　つまりは、１４少ない数をみつけると　
A-2がみつかり、２をたしてAが見つかります。



　答えはうえの、１０５９　ですね。　　６３ｘ１７－１４＋２

　　　　　　

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/17 23:42

1000, 1001, 1002, ... と調べる.