【高校数学】

【高校数学】

(1)a、b、cをa^2＋b^2＋ｃ^2=1を満たす実数とすると、a＋b＋cの最大値を求めよ。

(2)X^n(n=2、3、4…)を(2ｘ-1)^2で割った余りを求めよ。

(1)は平方完成できず、よくわかりません…

(2)は合成関数の微分かな？と思うのですが、はっきりせず、手がつけられません…

よろしくお願いします。
(>人<)

No.1 回答者： shelah_woodin 回答日時： 2010/06/25 21:24

(1)コーシー・シュワルツの不等式 (a^2+b^2+c^2) (x^2+y^2+z^2) ≧ (ax+by+cz)^2

［等号成立はa:b:c = x:y:zのとき］ は知っていますか？これに x=y=z=1 を代入するだけです．
知らないならば，他に色々やり方はあるが，基本は１文字消去（して判別式利用）でしょう．
（蛇足だがつまり，a+b+c=kとおいて，cについて解き，最初の式に代入する．それをまずaの二次方程式に整理して，aが実数解を持つ条件を判別式により求める．するとbとkの不等式になるが，bの二次不等式に変形し，bが実数解を持つ条件を判別式により求めると・・・，kの取り得る範囲が出ますね）

空間座標で図形的に処理すれば一発ですが．

(2)これはもっと基本的で，どんな参考書にも載っていますから自分で調べるべきです．
解き方は一通りではありません．
君の言うのは，商と余りをおいて，剰余の定理のようにx=1/2を代入する，というものでしょう．しかしそれでは余り(一次式)が決定できないので・・，そう，そこで微分ですね．
或いは地道に，n=0,1,2,3,・・の場合の余りを調べて一般解を推測し，帰納法で証明するという手もあります．

しっかり勉強して下さい．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。(1)調べてみました。有名な不等式なようですね…
勉強になりました。

(2)チャートに類題はあったのですが、ωの性質を利用するもので、参考になりませんでした…

お礼日時：2010/06/25 21:40

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/25 23:33

(2)

微分を使わず、数Ｉで済ますには、
X^n = (2X-1)^2 ・商 + 余り　と言う式を
2X-1 = Y　で変数変換するとイイですね。
「二項定理」って、知ってますか？

この回答へのお礼

はい。
二項定理は知ってます！

お礼日時：2010/06/25 23:55

No.3 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/06/26 21:09

(2)は他の回答者を参考に。

(1)だけ教えてやろう。
この程度ならせめてこれに気付けるといいなあ・・・という感じ。
でもベクトルと内積習ってないか？
ベクトルa,xをa=(1,1,1),x=(a,b,c)と定めてxの大きさ|x|は
仮定より|x|=(a^2＋b^2＋c^2)^(1/2)=1 で、|a|=(1^2＋1^2＋1^2)^(1/2)=√3
ここで
a＋b＋cの最大値とはaとxの内積(a,x)の最大値としても同等である。
したがって (a,x):=|a||x|cosΘ
の最大値は-1≦cosΘ≦1より
|a||x|。すなわち√3となる。ただしΘはaとxのなす角である。これで分かったか。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/26 22:10

←No.2

じゃあ、やってみよう。

X^n = (2X-1)^2 ・Q(X) + R(X) という式の
変数を 2X-1 = Y で置き換えたあと、
二項定理を使って左辺を展開すると、どうなる？
変形した式を、補足欄に書いてみてください。

あとは、R(X) が何次式か に注目して…

この回答への補足

回答ありがとうございます。
左辺に、X=1/2×(Y＋1)を代入してから二項定理ですか？？

補足日時：2010/06/26 23:16

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/26 23:25

両辺に X = (Y＋1)/2 を代入してから、二項定理です。

この回答への補足

Y^n/2^n＋nY^(n-1)/2^n＋n(n-1)/2×Y^(n-2)/2^n＋………＋1/2^n=Y^2Ｑ(X)＋Ｒ(X)

で、Ｒ(X)は一次以下。

ですか？？

補足日時：2010/06/26 23:43

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/27 01:00

そうです。

そして、Ｒ( (Y+1)/2 ) も Y について一次以下ですね。

(Y^2) Ｑ( (Y+1)/2 ) は Y について二次以上ですから、
貴方の式の両辺を比べると、
(nY + 1) / 2^n = Ｒ( (Y+1)/2 ) と解ります。

この式へ Y = 2X-1 を代入して、X の式に戻せば、
Ｒ(X) が具体的な X の多項式で表せます。

この回答への補足

どうしてＲ( (2X-1)/2 )がYについて一次以下なんですか？？

すいません…勉強不足で…

補足日時：2010/06/27 01:21

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/27 15:25

R( (2X-1)/2 ) ってのは、いったい何処から

湧いて出たのでしょう？

R(X) に X = (Y+1)/2 を代入するんですよ。
2X-1 = Y と置いたのだから。

R(X) が一次以下だから、R(X) = aX+b と置いて、
X = (Y+1)/2 を代入してごらんなさい。
Y の何次式になりましたか？