至急お願いします。 不定方程式3x+7y=1の全ての整数解を求めなさい。 この問題の解き方を分かりや

至急お願いします。
不定方程式3x+7y=1の全ての整数解を求めなさい。
この問題の解き方を分かりやすく教えてくれてください。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/05 14:04

どこが どう分からないのですか。

高校生ですか。不定方程式は 習いましたか。
教科書に 詳しく書いてあると思いますよ。
中学生ならば、難問過ぎるかな。
掛けるの記号(x) は、アルファベットの x と
区別が付きませんので (*) であらわします。

3x+7y=1 ・・・①
小学校2年の時習った 九九で、3の段と7の段で
差が 1 になるものを探すと 3*5=15, 7*2=14 が 思い付くはずです。
つまり 3*5-7*2=1 ・・・②
①-② → 3(x-5)+7(y-2)=0 → 3(x-5)=7(2-y) ・・・③ 、
3と7は 互いに素ですから x-5 は 7 の倍数になる筈です。
K を任意の整数とすると x-5=7k となり、
③ から 2-y=3k となります。
従って、x=7k+5, y=2-3k (k:任意の整数）となり、これが答です。

※ NO3 の回答と 答えが違う様に見えるかもしれませんが、
k=m+1 とすれば 同じ答えになります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/05 13:40

まず、3 と 7 の最大公約数を

ユークリッドの互除法で求める。
まず 7 = 3×2 + 1.
ありゃ、1ステップで最大公約数が出てしまった。
除数、被乗数を変えて除法を繰り返すから
「互除法」っていうんだけどな。
ま、とりあえず、3x + 7y = 1 を満たす x, y の一例
3×(-2) + 7×1=1 が求まったことになる。
今回は、勘でもすぐ見つかるけどね。

3x + 7y = 1 と
3×(-2) + 7×1 = 1 の両辺をそれぞれ引き算して
移行すると、
3(x+2) = -7(y-1).
この式の両辺の値は、3 の倍数でも 7 の倍数でもあるから、
3 と 7 の最小公倍数 21 の倍数 21k (kは整数) と置ける。
3(x+2) = -7(y-1) = 21k を整理して、
x = 7k - 2,
y = - 3k + 1.

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/05 13:26

１つの解を求めて、ｘ＝－２、ｙ＝１　　－６＋７＝１・・①ｙ－１

３ｘ＋７ｙ＝１・・②
②－①＝３（ｘ＋２）＋７（ｙ－１）＝０
３（ｘ＋２）＝７（１－ｙ）
３と７は互いに素、よって
ｘ＋２＝７ｍ（ｍは整数）
１－ｙ＝３ｍ
ｘ＝７ｍ－２
ｙ＝ー３ｍ＋１

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/05 11:09

教科書に全て載ってる。

No.1 回答者： BGZ蜜夫 回答日時： 2020/11/05 08:10

解の公式かたすきがけ