A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
不定方程式という。
3と7が互いに素である事がミソ。やり方を書くから、会得する様に。
○特殊解を1個見つける
x=5,y=2も解の1個
3・5-7・2=15-14=1なので、確かに解の1個
○一般解を計算する。
3x-7y=1 ①
3・5-7・2=1 ②
①式-②式を計算する(辺々を引き算する)
3(x-5) - 7(y-2)=0
移項すると
3(x-5)=7(y-2)
3と7が素(共通因数が無い)から、=になる為には
3・7=7・3とするしか無い
∴x-5=7、y-2=3
が、しか~し、3・7=7・3の両辺にnを掛けても=が成立するから
x-5=7n
y-2=3n
∴
x=7n+5
y=3n+2
(nは整数)
No.3
- 回答日時:
方程式3x-7y=1_(1) の整数解をすべて求めよ
ユークリッドの互除法という方法が知られていて、ずっと複雑な問題も簡単に解ける。
A,B,C,Xの後のi,i+1,i+2は添え字です。
図の黒枠の所だけ計算すれば答えが出る。黒枠以外は解説です。
手順:①②・・・⑥の順に計算する。方程式A2x-A1y=1の係数3と7のうち
①絶対値の大きい方をA1とし、②絶対値の小さい方をA2とする。
A1を前にした式にすると7y-3x=-1_(2)となる。
(1)割り算Ai÷(Ai+1)の答えBiとし、余りをAi+2の欄に書き込む。
(2)割り切れて余りが0になったら割り算は終了する。
余りAi+2=0のとき、Ai+1=Cは最大公約数が得られる。
C≠1の時は初めにA1、A2をCで割っておく。
(3)解の計算
はじめに④(Xi+1)=0、⑤Xi=±1とする。Xiの符号は式(2)の右辺に合わせる。
次に解Xiの計算⑥Xi=Bi(Xi+1)+(Xi+2)の式を繰り返し計算し
表の上に進み、i=1になるまで計算する。
(4)表の右端の欄は、得られた解Xiによって、成り立つ方程式を示す。
始めの方程式⑦が簡単化されて⑧の式となり、解Xiが求めやすくなることを示す。
最も求めやすくなると、(Xi+1)=0、Xi=-1となる。
(5)y=X2=-1,x=-X1=-2が得らると3x-7y=1__(1)
の解の一つが得られる。(1)の右辺の1を0に替えた式を作り(2)とする。
3x-7y=0_(2)。方程式(2)の解をx=7m,y=3mとする。mは任意の整数。
(1)と(2)の解の和を作ると、x=7m-2、y=3m-1がすべての解である。
No.2
- 回答日時:
具体的な整数の値は求められません。
「不定方程式」と云って、答えは 一般的な式で表します。
3x-7y=1 ・・・①
先ず、これを満たす x, y を一つ見つけます。
係数が一桁ですから、九九を思い出せばすぐに分かりますね。
x=5, y=2 で 良いことが分かりますね。
で、3*5-7*2=1 ・・・② とします。
①-② としますが、掛け算は そのままの形で進めます。
3(x-5)-7(y-2)=1-1 → 3(x-5)=7(y-2) ・・・③
3 と 7 は お互いに素ですから、(x-5) は 7 の倍数である筈です。
つまり x-5=7k (k:整数) となり、x=7k+5 となります。
これを ③ に代入して y=3k+2 となります。
答え:x=7k+5, y=3k+2 (k は整数)
x=5, y=2 から始めたので、このような答えになりましたが、
NO1 さんの答えと 結果的には同じです。
m=1 と k=0 とは 同じ値になりますね。
No.1
- 回答日時:
7=3・2+1より7y=3・2y+yこれを方程式に入れて
3x-3・2y-y=1これからy=3(x-2y)-1
x-2yは整数だからmとおいてy=3m-1
これをふたたび方程式に入れて
3x-7(3m-1)=1、x=7m-2
答え x=7m-2、
y=3m-1 mは任意の整数 です。
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