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数学A
(x+y+z)^5の展開式の異なる項の数を求めよ。答えがわからなくて答えを見ました。全てよくわからないのですが、なぜ〇が5個で|が2個なのか分かりません。

「数学A (x+y+z)^5の展開式の異な」の質問画像

A 回答 (3件)

下記の回答者さんも書かれているように、(x + y + z)^5 を展開した項は、



 C(x^a)(y^b)(z^c)

となり、a, b, c は 0以上の整数で、
 a + b + c = 5
になります。

ということは、たとえば「項の要素は、x→y→z の順に書く」と決めれば
 xxxxx
 xxyyz
 xxxzz
 yyzzz
のように、すべての項は
 x(a=0~5) (区切り1) y(b=0~5) (区切り2) z(c=0~5) (ただし a+b+c=5)
と書けます。
この「x, y, z の組合せ」が何種類あるかは、「x,y,z が合計5個」と「区切り2個」の「合計7個」を1列に並べる「並べ方」と考えることができます。
a=0(x が 0 個)のときには「区切り1」が「1番目」に来ますし、a=5(x が 5 個)のときには「区切り1」が「6番目」、「区切り2」が「7番目」に来て b=c=0 です。
それが「なぜ〇が5個で|が2個なのか」ということです。
(「〇〇〇〇〇||」なら a=5, b=c=0 つまり「xxxxx」だし、「〇〇|〇|〇〇|」なら a=2, b=1, c=2 の「xxyzz」です)

ということで、「7つの中から、区切り線2つを何番目と何番目に置くか」という「7つから2つを選ぶ組合せの数」が求めるものになるわけです。(区切り線は、左に置いた方が「x と y の境い目」、右に置いた方が「y と z の境い目」になるので区別しません)

なので「x,y,z が合計5個」と「区切り2個」の「合計7個」の中の「どこに区切り線を2つ置くか」の組合せの数で、「(x + y + z)^5 を展開した項の種類」の数を計算できるわけです。
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この回答へのお礼

解決しました

ありがとうございます。
〇と|を使うやり方は学校でも習ったので分かりかったです。

お礼日時:2019/10/22 00:09

nHk は、嫌う人が多いので、あまり使わないほうがいいです。



実際に展開してみれば判りますが、(x+y+z)^n を展開して出てくる項は、
どれも、(定数)(x^a)(y^b)(z^c) ただし a,b,c は 0 以上の整数で a+b+c=n
という形をしています。

だから、5 を 0 以上の整数 a,b,c の和で表す表し方の個数
を求めればよいのです。
全部書きだしてしまったらどうですか?
5 = 0+0+5 = 0+1+4 = 0+2+3 = 0+3+2 = 0+4+1 = 0+5+0
= 1+0+4 = 1+1+3 = 1+2+2 = 1+3+1 = 1+4+0
= 2+0+3 = 2+1+2 = 2+2+1 = 2+3+0
= 3+0+2 = 3+1+1 = 3+2+0
= 4+0+1 = 4+1+0
= 5+0+0.
個数は、6+5+4+3+2+1 = 21 です。
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
大変だけど分かりやすかったです。

お礼日時:2019/10/22 00:08

(x+y+z)⁵ の項は、すべて


最初の(x+y+z)から、どれか一つ
2番めの(x+y+z)から、どれか一つ
3番めの(x+y+z)から、どれか一つ
4番目の(x+y+z)から、どれか一つ
5番目の(x+y+z)から、どれか一つ
を掛け合わせたものです。

よって、xの乗数とyの乗数とzの乗数を合わせたものは5になります。
0乗になる場合は(x⁰=y⁰=z⁰=1 どれも1ですので、)その項はあえて書きません。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます。
(x+y+x)^5をよく理解してませんでした。

お礼日時:2019/10/22 00:07

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