マクローリン展開のn次の係数を求めよと言う問題です。 (x^2+2)e^x, n=5 どのようにして

マクローリン展開のn次の係数を求めよと言う問題です。

(x^2+2)e^x, n=5

どのようにして答えを導き出せば良いのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/31 21:53

e^x = Σ{n=0〜∞} (1/n!)(x^n)

なので
　　(x^2+2)e^x = (x^2)(e^x)+2(e^x)
　　= Σ{n=0〜∞} (1/n!)(x^(n+2)) + Σ{n=0〜∞} (2/n!)(x^n)
　　= Σ{n=2〜∞} (1/(n-2)!)(x^n) + Σ{n=0〜∞} (2/n!)(x^n)
　　= (2/0!)(x^0) + (2/1!)(x^1) + Σ{n=2〜∞} ((1/(n-2)!)(x^n) + (2/n!)(x^n))
　　= 2+ 2x + Σ{n=2〜∞} ((1/(n-2)!)(x^n) + (2/n!)(x^n)))
　　= 2+ 2x + Σ{n=2〜∞} ((1/(n-2)!) + (2/n!))(x^n)