画像はテイラー展開の公式です。 <マクローリン展開> f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-a

画像はテイラー展開の公式です。


<マクローリン展開>
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-a)^n(ローラン展開の式)より、マクローリン展開はnが正の範囲でしか展開できないため、
n=0～∞として、またa=0(aは近似したい位置のx座標であり、このx座標が0の時、すなわち、a=0の時はマクローリン展開となる。)として、
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nとしてから、
マクローリン展開は

↓f(z)の両辺をn回数微分すると

{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)

f^(n)(z)= Σ_{n=0～∞}a(n)z^n


f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
f(z)=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)z+3a(3)z^2+4a(4)z^3+5a(5)z^4+6a(6)z^5+7a(7)z^6+8a(8)z^7+9a(9)z^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)z+4*3a(4)z^2+5*4a(5)z^3+6*5a(6)z^4+7*6a(7)z^5+8*7a(8)z^6+9*8a(9)z^7+…
↓両辺を微分すると(3回目)
f"'(z)=3!a(3)+4!a(4)z+(5!/2)a(5)z^2+(6!/3!)a(6)z^3+(7!/4!)a(7)z^4+(8!/5!)a(8)z^5+(9!/6!)a(9)z^6+…
↓両辺を微分すると(4回目)
f""(z)=4!a(4)+5!a(5)z+(6!/2)a(6)z^2+(7!/3!)a(7)z^3+(8!/4!)a(8)z^4+(9!/5!)a(9)z^5+…
↓両辺を微分すると(5回目)
f""'(z)=5!a(5)+6!a(6)z+(7!/2!)a(7)z^2+(8!/3!)a(8)z^3+(9!/4!)a(9)z^4+…
↓両辺を微分すると(6回目)
f"""(z)=6!a(6)z+7!a(7)z+(8!/2!)a(8)z^2+(9!/3!)a(9)z^3+…
↓両辺を微分すると(7回目)
f"""'(z)=7!a(7)+8!a(8)z+(9!/2!)a(9)z^2+…
↓両辺を微分すると(8回目)
f""""(z)=8!a(8)+9!a(9)z+…
↓
…
↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると
f^(n)(0)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(0)=a(n)...①
(※(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)から
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)導けた)

①の両辺を置き換えて。
∴
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)



=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると(※aではないが、のちにaとなるzであるためz=0としたのだろう。)
f^(n)(0)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(0)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(0)
です


f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
から
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)
を導きこれを
f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n)x^n
に代入すると
a=0の場合の画像の式になるのです。

この式a(n)=(1/n!)f^(n)(0)を
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nに代入して展開すると
f(z)=f(0)+zf'(0)+(z²/2!)f''(0)+(z³/3!)f'''(0)+...となる。」
とまでは作れましたが、どうしてもテイラー展開版が作れません。

どうか、テイラー展開版の完成を助けてください。

以下は途中まで作ったテイラー版です。

<テイラー展開>
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-a)^n(ローラン展開の式)より、テイラー展開はnが正の範囲でしか展開できないため、
n=0～∞として
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^nとしてから、
テイラー展開は

↓両辺をn回数微分すると

{(d/dz)^n}f(z-a)=f^(n)(z-a)

f^(n)(z)= Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
f(z)=a(0)+a(1)+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)z+3a(3)z^2+4a(4)z^3+5a(5)z^4+6a(6)z^5+7a(7)z^6+8a(8)z^7+9a(9)z^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)z+4*3a(4)z^2+5*4a(5)z^3+6*5a(6)z^4+7*6a(7)z^5+8*7a(8)z^6+9*8a(9)z^7+10
…
↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると
f^(n)(0)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(0)=a(n)
∴
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)

=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
f^(n)(0z)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(z)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(z)
です

だから
画像の式から
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
を導いたのではありません

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
から
a(n)=(1/n!)f^(n)(a)
を導きこれを
f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n)x^n
に代入すると
画像の式になる。


この式a(n)=(1/n!)f^(n)(a)を
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nに代入して展開すると
...からがわかりません。



ちなみに、マクローリン展開版に関して、
「f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると」
に関して、なぜz=0としたのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mpcsp079goo 回答日時： 2022/09/02 18:19

質問はどゆことですか？