すいません。過去の解答を読み返していて質問が4つあるのですが、 まず一つ目、 「 r>2で n≦-2

すいません。過去の解答を読み返していて質問が4つあるのですが、
まず一つ目、
「
r>2で
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は
Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
積分経路Cの内側で正則な関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから

a(n)=0
といえるのです」

との事ですが、
以下のような

a(n)=0ではなく、
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)だと
解答を頂いたのですがどちらが正しいのでしょうか？

「r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて

{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(2)

左辺はz=1を中心にf(z)を展開した時の{(z-1)^n}項の係数a(n)で
右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数
z=-1における(z-1)^(-n-2)/(z+1)の留数だから

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
↓これと(2)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)…(3)

↓右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数だから
↓z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の1位の特異点だから
↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
↓これと(3)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
だから

∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」



二つ目、質問がございます。
「ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...①

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=-1で1位の極を持つ」に関して、
z=1がないのは|z-a|=rより|1-1|=r
r=0となり、r>2の範囲に入らないという理解で正しいでしょうか？


3つ目、
「i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)」
に関してnの場合わけとして、a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導くまででn≦-2やn≧-1の場合わけがありませんがなぜでしょうか？


最後にa(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)から
a(n)=-1/(-2)^(n+2)となるまでをもう少し細かく教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 質問3についてはn≧-1の時だとわかりました。
  ちなみに、
  i)
  0<r<2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)でn≦-2の場合はanの式はどのようになるのでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/26 06:04

• ありがとうございました。
  
  画像に関して質問があります。
  ii)の時になぜ緑の下線部の式は青い下線部のように導けるのでしょうか？
  
  どうか詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  ちなみに、なぜ0<|z-1|<2と|z-1|>2と場合わけする必要があるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/26 22:05

• 補足で申し訳ありません。
  確認として、
  画像の理解で正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/05/26 22:08

• 画像について理解できました。
  2022.5.17.15:27
  2022.5.17.16:24の解答より
  n≦-2の時、a(n)=0より、a(n)自体が0であるため、n≦-2に関して、n=-2,n=-3を代入うんぬん以前にa(n)自体が0であるため、n≦-2の時、a(n)=0だとわかりました。

  
    補足日時：2022/05/27 16:50

• 画像において、理解できました。
  2022.5.17 15:27
  2022.5.17 16:24の解答より
  n≦-2より、a(n)=0と導かれた。
  要は、n=-2,n=-3であり、nに数値を代入する以前に n≦-2の時にa(n)=0と導かれたため、a(n)=0と理解できました。

  
    補足日時：2022/05/27 16:56

• 度々すいません。
  画像において、なぜコーシーの積分定理から正則関数
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)の積分a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz=0となるのでしょうか？
  
  図を用いてわかりやすく教えて頂けないでしょうか？
  毎度毎度申し訳ありません。
  
  ちゃんと理解したいのでどうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/27 17:25

• ありがとうございます。
  
  画像に関して質問があります。
  ii)の時になぜ緑の下線部の式は青い下線部のように導けるのでしょうか？
  
  どうか詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  ちなみに、なぜ0<|z-1|<2と|z-1|>2と場合わけする必要があるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/29 02:33

• すいません。
  画像のi)緑の下線部がどのように|z-1|>2の場合わけにより紫の下線部になるか、どうか過程の計算式を教えて頂けないでしょうか？
  
  また、ii)に関して0<|z-1|<1の場合わけにより緑の下線部が青い下線部になるかをどうか過程の計算をどうか詳しく教えて下さい。
  
  どうか、よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/29 05:25

• なぜ正則で無い式は(コーシー積分定理を導く上で作った)単位円上では0にならないのでしょうか？

    補足日時：2022/05/29 17:03

• 「C={z||z-1|=r}では正則なのです
  
  z=1で正則ではない式は
  0<r<1
  C={z||z-1|=r}では正則なのだけれども
  z=1で正則でないから
  D={z||z-1|<r}では正則ではないのです」
  に関して、
  なぜz=1で正則ではない式は
  0<r<1
  C={z||z-1|=r}では正則なのでしょうか？
  
  また、なぜz=1で正則ではない式は
  0<r<1
  C={z||z-1|=r}では正則なのだけれども
  z=1で正則でないから
  D={z||z-1|<r}では正則ではないのでしょうか？
  
  具体的な数値を入れて証明して頂けると助かります。
  
  どうかわかりやすく教えて下さい。

    補足日時：2022/05/29 17:32

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/30 04:02

違います

「
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、かつ正則である
」
ではなく
「
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、正則でない
」
です

0<r<1
z=1の時に|z-1|=0となり、
|z-1|=0<r
となり
|z-1|=r
とならないから
z=1は
C={z||z-1|=r}
の要素ではないのです

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/30 03:57

違います

「
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、かつ正則である
」
ではなく
「
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、正則でない
」
です

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/29 21:23

i)図の無限級数は

|z-1|<2の時収束し
|z-1|>2の場合発散するから
0<|z-1|<2の場合でなければならない

ii)図の無限級数は
|z-1|>2の時収束し
|z-1|<2の場合発散するから
|z-1|>2の場合でなければならない

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/29 20:47

図の無限級数は

0<|z-1|<2の時収束し
|z-1|>2の場合発散するから
0<|z-1|<2の場合でなければならない

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/29 19:57

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で分母が0だから定義できないので正則ではないのです
z=-1で分母が0だから定義できないので正則ではないのです

z≠±1ではf(z)=1/(z^2-1)は正則なのです

f(z)=1/(z^2-1)
は
0<r<2
C={z||z-1|=r}では
z=1で|z-1|=0<r　だから1はCの要素でない
z=-1で|z-1|=2>r　だから-1はCの要素でない
だから
正則なのです

0<r<2
D={z||z-1|<r}では
z=1で|z-1|=0<r　だから
1∈D
だから
f(z)=1/(z^2-1)
は
D={z||z-1|<r}では
正則ではないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
質問がございます。

z=1で|z-1|=0<r　だからz=1はCの要素でない

に関して、z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、かつ正則であるためz=1はCの要素でないとわかりました。

しかし、z=1の時に|z-1|=0となりますが、
なぜ|z-1|=0<rと作れたのでしょうか
というのも、rの範囲は0<r<1です。
z=1の時に|z-1|=0となるならば|1-1|=0の計算によりr=0であるため、rの範囲は0<r<1に反すると思ったためです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/30 01:17

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/29 17:27

f(z)=1/(z^2-1)

は
0<r<1
C={z||z-1|=r}では正則なのです

i)
緑下線部の
1/{(z-1)(z+1)}
の
(z+1)に

i)
　小学校で習う引き算
ｚ+1 = z-1+2

を
代入すると

紫の下線部
1/{(z-1)(z-1+2)}

になる

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/29 17:16

正則では無いとは言っていません

C={z||z-1|=r}では正則なのです

z=1で正則ではない式は
0<r<1
C={z||z-1|=r}では正則なのだけれども
z=1で正則でないから
D={z||z-1|<r}では正則ではないのです

この回答へのお礼

なるほど、例えば式に関して条件(0<r<1
C={z||z-1|=r})などが合わない範囲では式が正則でないわけですね。

出来れば「画像のi)緑の下線部がどのように|z-1|>2の場合わけにより紫の下線部になるか、どうか過程の計算式を教えて頂けないでしょうか？

また、ii)に関して0<|z-1|<1の場合わけにより緑の下線部が青い下線部になるかをどうか過程の計算をどうか詳しく教えて下さい。

どうか、よろしくお願い致します。」
に答えて頂けるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します

お礼日時：2022/05/29 17:22

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/29 04:29

緑下線部の

1/{(z-1)(z+1)}
の
(z+1)に

ii)
　小学校で習う分数計算と引き算
ｚ+1 = (z-1)( (z-1+2)/(z-1) )

を
代入してください

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみになぜちなみに、0<|z-1|<2と|z-1|>2と場合わけする必要があるのでしょうか？

お礼日時：2022/05/29 04:33

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/28 03:45

D を C で囲まれた領域とし、

g(z)

が D 上で正則ならば

∳_C g(z)dz=0

が成り立つ
というのが
コーシーの積分定理なのです

なぜ
コーシーの積分定理
が
成り立つかは

コーシーの積分定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC …
の
証明を参照願います

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/27 19:15

コーシーの積分定理

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC …
に
書いてある通り

D を C で囲まれた領域とし、

g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

は D 上で正則であるから

∳_C g(z)dz=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、なぜコーシーの積分定理に関して正側だと0になるのでしょうか？

お礼日時：2022/05/27 22:35