すいません。過去の解答を読み返していて質問が4つあるのですが、 まず一つ目、 「 r>2で n≦-2

すいません。過去の解答を読み返していて質問が4つあるのですが、
まず一つ目、
「
r>2で
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は
Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
積分経路Cの内側で正則な関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから

a(n)=0
といえるのです」

との事ですが、
以下のような

a(n)=0ではなく、
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)だと
解答を頂いたのですがどちらが正しいのでしょうか？

「r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて

{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(2)

左辺はz=1を中心にf(z)を展開した時の{(z-1)^n}項の係数a(n)で
右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数
z=-1における(z-1)^(-n-2)/(z+1)の留数だから

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
↓これと(2)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)…(3)

↓右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数だから
↓z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の1位の特異点だから
↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
↓これと(3)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
だから

∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」



二つ目、質問がございます。
「ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...①

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=-1で1位の極を持つ」に関して、
z=1がないのは|z-a|=rより|1-1|=r
r=0となり、r>2の範囲に入らないという理解で正しいでしょうか？


3つ目、
「i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)」
に関してnの場合わけとして、a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導くまででn≦-2やn≧-1の場合わけがありませんがなぜでしょうか？


最後にa(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)から
a(n)=-1/(-2)^(n+2)となるまでをもう少し細かく教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 質問3についてはn≧-1の時だとわかりました。
  ちなみに、
  i)
  0<r<2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)でn≦-2の場合はanの式はどのようになるのでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/26 06:04

• ありがとうございました。
  
  画像に関して質問があります。
  ii)の時になぜ緑の下線部の式は青い下線部のように導けるのでしょうか？
  
  どうか詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  ちなみに、なぜ0<|z-1|<2と|z-1|>2と場合わけする必要があるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/26 22:05

• 補足で申し訳ありません。
  確認として、
  画像の理解で正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/05/26 22:08

• 画像について理解できました。
  2022.5.17.15:27
  2022.5.17.16:24の解答より
  n≦-2の時、a(n)=0より、a(n)自体が0であるため、n≦-2に関して、n=-2,n=-3を代入うんぬん以前にa(n)自体が0であるため、n≦-2の時、a(n)=0だとわかりました。

  
    補足日時：2022/05/27 16:50

• 画像において、理解できました。
  2022.5.17 15:27
  2022.5.17 16:24の解答より
  n≦-2より、a(n)=0と導かれた。
  要は、n=-2,n=-3であり、nに数値を代入する以前に n≦-2の時にa(n)=0と導かれたため、a(n)=0と理解できました。

  
    補足日時：2022/05/27 16:56

• 度々すいません。
  画像において、なぜコーシーの積分定理から正則関数
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)の積分a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz=0となるのでしょうか？
  
  図を用いてわかりやすく教えて頂けないでしょうか？
  毎度毎度申し訳ありません。
  
  ちゃんと理解したいのでどうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/27 17:25

• ありがとうございます。
  
  画像に関して質問があります。
  ii)の時になぜ緑の下線部の式は青い下線部のように導けるのでしょうか？
  
  どうか詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  ちなみに、なぜ0<|z-1|<2と|z-1|>2と場合わけする必要があるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/29 02:33

• すいません。
  画像のi)緑の下線部がどのように|z-1|>2の場合わけにより紫の下線部になるか、どうか過程の計算式を教えて頂けないでしょうか？
  
  また、ii)に関して0<|z-1|<1の場合わけにより緑の下線部が青い下線部になるかをどうか過程の計算をどうか詳しく教えて下さい。
  
  どうか、よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/29 05:25

• なぜ正則で無い式は(コーシー積分定理を導く上で作った)単位円上では0にならないのでしょうか？

    補足日時：2022/05/29 17:03

• 「C={z||z-1|=r}では正則なのです
  
  z=1で正則ではない式は
  0<r<1
  C={z||z-1|=r}では正則なのだけれども
  z=1で正則でないから
  D={z||z-1|<r}では正則ではないのです」
  に関して、
  なぜz=1で正則ではない式は
  0<r<1
  C={z||z-1|=r}では正則なのでしょうか？
  
  また、なぜz=1で正則ではない式は
  0<r<1
  C={z||z-1|=r}では正則なのだけれども
  z=1で正則でないから
  D={z||z-1|<r}では正則ではないのでしょうか？
  
  具体的な数値を入れて証明して頂けると助かります。
  
  どうかわかりやすく教えて下さい。

    補足日時：2022/05/29 17:32

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/26 20:30

i)

0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから

n≦-2の場合は　a(n)=0 となるから

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓nをmに置き換えると
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

↓n≧-1として
↓両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。

i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから

n≦-2の場合は　a(n)=0となるとの事ですが、
なぜn≦-2の場合は　a(n)=0となるのでしょうか？

また、具体的にn=-2の時、n=-3の時、n=-4の時などnに値を代入してa(n)=0 となる事を証明して頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/26 23:09

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/24 20:25

「

r>2で
」
等とはいっていません
回答を改ざんしないで下さい

質問の
「
0<r<2
」
に対して
「
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は
Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
積分経路Cの内側で正則な関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから

a(n)=0
といえるのです
」
といっているのです

この回答へのお礼

勝手な勘違いをして申し訳ありませんでした。
正しく理解できるようにします。

厚手がましいようで申し訳ありませんが、他の質問にも答えて頂けるとありがたいです。

お礼日時：2022/05/25 12:35