両辺が正のとき,両辺を平方できる???

問題を解いていて、当たり前のように両辺に平方をすることがあったのですが、参考書をよく見るとそれをするときはその前書きや捕捉場所に「両辺が負でないから」などと書いてあります。
両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かるのですが、なぜ、両辺が負でないときに同値性が崩れない(なぜ、p⇒qだけでなくq⇒pが成り立つ)のですか?

つまり、

A > 0, B > 0ならば
A = B ⇔ A² = B²

の証明がうまくできないのでご教示ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/21 11:30

=>)

明らか

<=)
A^2=B^2より
(A^2)-(B^2)=0
∴(A-B)(A+B)=0
A+B>0なのでA-B=0が必要。
よってA=B

※A^2はAの2乗を表します

この回答へのお礼

完璧な証明をありがとうございます、おかげで納得しました!!

お礼日時：2014/08/21 16:42

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2014/08/21 12:36

おっと失礼。

＞＞両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かる

＞くずれません。
＞くずれる場合を挙げてみてください。

自分で反例を挙げてみる。
A = 2, B = -2

# 何か混乱してた。

この回答へのお礼

分かりやすくありがとうございます。
感覚的にも理解をすることができました！

お礼日時：2014/08/21 16:41

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2014/08/21 12:22

＞両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かる

くずれません。
くずれる場合を挙げてみてください。


さて、A^2 = B^2であるならば、
AとBはとりあえず絶対値は等しい。
符号は同じかもしれないし、違うかもしれない。
ここで、A > 0, B > 0という条件があるので、
AとBは同符号。
絶対値が等しく同符号であるから、A = B。