画像のa(n)の式から 1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)t

画像のa(n)の式から
1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を導こうとしたところ、
k=1として、
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)

a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)f(z)

f(z)=tan(z)として、
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)f(z)

=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)を導けましたが、



「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)、
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2,π/2)、
a(n-1)=1/(n)! lim[z->a](d/dz)^(n)(z-π/2)f(z)」
の場合から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2,π/2)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2) tan(z)と導けないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• また、過去のf(z)=1/(z-1)^2について、
  
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)にf(z)=1/(z-1)^2を代入して
  a(n)= 1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  また、i)0<r<2の場合で
  k=1として画像のf(z)にf(z)=1/(z-1)^2を代入して
  a(n)= 1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/02 03:54

• ありがとうございます。
  ちなみに、補足に書いた
  f(z)=1/(z-1)^2について、
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)と画像の式のどちらを使えば正しい式である
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}(※a(n)=-1(-2)^(n+2))を導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/03 00:14

• 編集しました。
  
  ありがとうございます。
  ちなみに、補足に書いた
  f(z)=1/(z-1)^2について、
  i)0<r<2の場合の
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のf(z)と画像の式のどちらを使えば正しい式である
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)}(※a(n)=-1/(-2)^(n+2))を導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/03 00:15

• f(z)=1/(z-1)^2について、
  以前、画像のように
  i)0<r<2の場合の時に
  a(n)=1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1){1/(z+1)} (※a(n)=-1/(-2)^(n+2))を導くと教えて頂いたのですが、間違いだったのでしょうか？
  
  仮に過去の画像の解答が間違っている場合は正しいa(n)の式を導く上でres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)とa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}のどちらを使えば良いかを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/03 18:45

• ありものがありさん、mtrajcpさんありがとうございます。
  
  なるほどf(z)=1/(z^2-1)について
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使う場合はそのままf(z)を代入して
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
  を使う場合はf(z)=1/(z^2-1)よりk=2として、a(n)=としてからf(z)=1/(z^2-1)を代入してa(n)を求めれば良いとわかりました。
  ちなみな、f(z)=1/(z^2-1)のk=2なのはz^2であるためでしょうか？

    補足日時：2022/08/03 23:23

• 今更で申し訳ないのですが、
  画像に関して、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)についてa(n)を求める際にf(z)=1/(z^2-1)ではなく、
  
  f(z)=1/(z^2-1)^(n+2)としてn+2位としたのでしょうか？
  f(z)=1/(z^2-1)の1位でも極を持つためf(z)=1/(z^2-1)^(n+2)とする理由がわかりません。

  
    補足日時：2022/08/04 00:11

• 以前mtrajcpさんに解答を頂いたのですが解答が消えてしまい困っています。
  どうか画像に関する赤い下線部のf(x)=の式の作り方を今一度書いて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/04 11:47

• 補足ですいません。
  
  「1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
  
  z→1の時左辺は収束するから右辺も収束するから
  m≦-2の時　a(m)=0でなければならない」
  
  に関して、左辺と右辺は収束するため、積分できてしまう為、コーシーの積分定理により0になってしまうと考えたのですが、なぜ0にならないのでしょうか？a(m)=0としたことで右辺は収束できなくなり積分できないため、a(m)=0として0にしないようにしたのでしょうか？
  
  また、消去されてしまった質問についてで申し訳ないのですが、llf(x)ll=√(f(x),f(x))と出来る理由を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/05 10:23

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/07 11:11

R=(全実数の集合)

[-π,π]={x∈R;-π≦x≦π}
C[-π,π]={f;fは[-π,π]からRへの連続関数}
f∈C[-π,π]
g∈C[-π,π]
に対して
fとgの内積を
(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と定義する

f∈C[-π,π]
に対して

||f||=√(f,f)
と
定義すると

1.
||f||=0
とすると
√(f,f)=0
(f,f)=0
だから
f=0
だから
||f||→f=0

2.
||αf||
=√(αf,αf)
=√{(α^2)(f,f)}
=(√α^2)√(f,f)
↓||f||=√(f,f)だから
=|α|||f||

3.
||f+g||≦||f||+||g||
のノルムの3つの条件を満たすから
||f||=√(f,f)
とfのノルムを定義できる

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/07 09:20

内積

(f,g)
が定義されていなければ
llfll=√(f,f)
とはできません間違いです
内積
(f,g)
を定義してください

この回答へのお礼

ありがとうございます。
f(x)が定義されていれば、llfll=√(f,f)と置けるのでしょうか？
例えばf(x)=xのような感じに。

お礼日時：2022/08/07 10:37

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/07 06:05

llf(x)ll=√(f(x),f(x))

は間違いです
llfll=√(f,f)
でなければなりません
内積
(f,g)
が定義されていなければ
llfll=√(f,f)
は定義できません
内積
(f,g)
を定義してください

この回答へのお礼

ありがとうございます。
では、どうやってllfll=√(f,f)とできたのでしょうか？

お礼日時：2022/08/07 06:06

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/07 06:00

llf(x)ll=√(f(x),f(x))

は間違いです
llfll=√(f,f)
でなければなりません
内積
(f,g)
が定義されていなければ
llfll=√(f,f)
は定義できません
内積
(f,g)
が定義してください

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/06 11:27

f(z)=1/(z^2-1)

はz=1で1位の極を持つから
f(z)=1/(z^2-1)
の
0<r<2
C={z||z-1|=r}
でのローラン展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dz
となるから
a(n)=Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
だから
n=-1の時
a(-1)=Res(f(z),1)

1/(z^2-1)=a(-1)/(z-1)+Σ_{n=0～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=a(-1)+Σ_{n=0～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓z→1とすると
lim_{z→1}1/(z+1)=a(-1)
だから

a(-1)
=(1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }
=(1/(0)!) lim[z→1] (d/dz)^(0) {{(z-1)/(z^2-1)} }
=lim[z→1]{1/(z+1)}
=1/2

∴
a(-1)=1/2

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
最後に消去されてしまった質問についてで申し訳ないのですが、llf(x)ll=√(f(x),f(x))と出来る理由を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/06 19:55

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/06 11:21

f(z)=1/(z^2-1)

はz=1で1位の極を持つから
f(z)=1/(z^2-1)
の
0<r<2
C={z||z-1|=r}
でのローラン展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dz
となるから
a(n)=Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
だから
n=-1の時
a(-1)=Res(f(z),1)

a(-1)
=(1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }
=(1/(0)!) lim[z→1] (d/dz)^(0) {{(z-1)/(z^2-1)} }
=lim[z→1]{1/(z+1)}
=1/2

∴
a(-1)=1/2

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/06 05:53

Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }

は
f(z)がz=cでk位の極を持たなければ間違いです
「
f(z)がz=cでk位の極を持つならば
」
という条件がなければ
Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }
は間違いです

この回答へのお礼

なるほど、導き方はわかりませんが、
f(z)=1/(z^2-1)においてはz=1の時k=1で極を持つため、Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }が使えると思いますが、f(z)=1/(z^2-1)においてはz=1の時k=1としてRes[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }からn≧-1の時の
-1/(-2)^(n+2)は導けるのでしょうか？
導けるならば導くまでの過程の計算を教えてほしいです。

また、補足で申し訳ないのですが消去されてしまった質問についてで申し訳ないのですが、llf(x)ll=√(f(x),f(x))と出来る理由を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/06 06:34

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/06 04:03

1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

(z→1の時)

1/(z+1)→1/2
=
…
+a(-6)/(z-1)^5→∞に発散(a(-6)≠0の時)するからa(-6)=0でなければならない
+a(-5)/(z-1)^4→∞に発散(a(-5)≠0の時)するからa(-5)=0でなければならない
+a(-4)/(z-1)^3→∞に発散(a(-4)≠0の時)するからa(-4)=0でなければならない
+a(-3)/(z-1)^2→∞に発散(a(-3)≠0の時)するからa(-3)=0でなければならない
+a(-2)/(z-1)→∞に発散(a(-2)≠0の時)するからa(-2)=0でなければならない
+a(-1)→a(-1)
+a(0)(z-1)→0
+a(1)(z-1)^2→0
+a(2)(z-1)^3→0
+a(3)(z-1)^4→0
+a(4)(z-1)^5→0
…

だから

1/(z+1)=a(-1)+a(0)(z-1)+a(1)(z-1)^2+a(2)(z-1)^3+a(3)(z-1)^4+…

1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

1/(z+1)=a(-1)+a(0)(z-1)+a(1)(z-1)^2+a(2)(z-1)^3+a(3)(z-1)^4+…
↓微分すると(1回目)
(d/dx){1/(z+1)}=a(0)+2a(1)(z+1)+3a(2)(z-1)^2+4a(3)(z-1)^3+…
↓微分すると(2回目)
(d/dx)^2{1/(z+1)}=2a(1)+3!a(2)(z-1)+4*3a(3)(z-1)^2+…
↓微分すると(3回目)
(d/dx)^3{1/(z+1)}=3!a(2)+4!a(3)(z-1)+…
↓微分すると(4回目)
(d/dx)^3{1/(z+1)}=4!a(3)+…
…
↓微分すると((n+1)回目)(n≧-1に対して)

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…
の
n
は
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
の
m
と違うものなので違う変数にしたのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、∞に発散されては困るためm≦-2の時　a(m)=0と置いたのだとわかりました。

mを作る理由に関しては
2022.8.4 16:16より
「f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|<2
でのローラン展開を
1/(z^2-1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^mとする」より1/(z^2-1)のローラン展開に使われたmはこちらの解答に書いてある様に各mの値に関する1/(z+1)を計算するためのもので、
頂いたこちらの解答の書いてある(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…のnは微分の回数であり、{1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…の続きが書いてある2022.8.4 16:16の「n≧-1の時,両辺を(n+1)回微分する」よりnであるため、このnと区別するためにmを作ったとわかりました。

その後は
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}はnの場合分けによりa(n)≠0あるいはa(n)=0となるとわかりました。


ちなみに、Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }の右辺はどうやって導かれたのでしょうか？

お礼日時：2022/08/06 05:11

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/05 21:33

1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

1/(z+1)=…+a(-2)/(z-1)+a(-1)+a(0)(z-1)+a(1)(z-1)^2+…

z→1の時左辺は収束するから右辺も収束するから
m≦-2の時　a(m)=0でなければならない
m≦-2の時
a(m)≠0と仮定すると

m=-2の時
lim_{z→1}a(-2)(z-1)^(-1)=lim_{z→1}a(-2)/(z-1)=∞に発散
m=-3の時
lim_{z→1}a(-3)(z-1)^(-2)=lim_{z→1}a(-3)/(z-1)^2=∞に発散
…
m≦-2の時
lim_{z→1}a(m)(z-1)^(m+1)=lim_{z→1}a(m)/(z-1)^(-m-1)=∞に発散し右辺が発散してしまい

右辺が収束する事に矛盾するから
m≦-2の時　a(m)=0でなければならないのです

m=-1の時は
lim_{z→1}a(-1)(z-1)^(0)=a(-1)に収束するのです
m=0の時は
lim_{z→1}a(0)(z-1)^(1)=0に収束するのです

だから
m≦-2の時a(m)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。

m≦-2の時はa(m)=0でありますが
右辺は0になると思いきや∞になるのですね？
そして、m≧-1のa(m)≠0だとわかりました。


ちなみに、a(m)を作る必要はあったのでしょうか？
a(m)でなくて、a(n)で良かったのではないでしょうか。

お礼日時：2022/08/05 23:53

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/05 19:03

「1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

z→1の時左辺は収束するから右辺も収束するから
m≦-2の時　a(m)=0でなければならない」
に関して、
積分するのではありません
積分とは関係ありません
積分しないから0にはなりません
m≦-2の時 a(m)≠0と仮定すると
lim_{z→1}a(m)(z-1)^(m+1)=lim_{z→1}a(m)/(z-1)^(-m-1)=∞に発散し右辺が発散してしまい
右辺が収束する事に矛盾するから
m≦-2の時　a(m)=0でなければならないのです
m≦-2の時　a(m)=0とすれば右辺は収束するのです
「a(m)=0としたことで右辺は収束できなくなり」というのは間違いです
積分しないので積分は関係ありません
「a(m)=0として0にしないように」というのは日本語として間違っているのです

この回答へのお礼

なるほど、右辺も収束さてるためにa(m)=0とした事がわかりました。

ちなみに、なぜmは-2以下なのでしょうか？
また、
「1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)

↓n≧-1の時,両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…」
において、a(m)はどうやってa(n)になったのでしょうか？

最後にz→1の時左辺と右辺が収束する
1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)から最終的に
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導きましたが、{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}はなぜ収束しないのでしょうか？

出来れば、
Res[f(z),c] = (1/(k-1)!) lim[z→c] (d/dz)^(k-1) { f(z) (z-c)^k }の右辺の作り方も教えて頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/05 21:15