arctan√３＝π/3,4π/3ですか？

そうなりますか？答えは2つありますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/04 14:28

まず、「逆関数」とは何だったかを復習しましょう。

逆関数は、全単射(一対一)の関数にしか定義されません。
tan は、周期関数であり、一対一ではありませんから、
tan そのものの逆関数なんて存在しません。
逆三角関数が三角関数の逆関数だという誤解は
世の中に広く蔓延してしまっていて、注意が必要です。

arctan は、tan の逆関数ではなく、
一対一の関数になるように tan の定義域を制限した関数
の逆関数です。
その制限した定義域が、arctan の値域になります。
ひとくちに arctan の値といっても、
設定した値域が異なれば違ってしまうのです。
tan の定義域をどのように制限して arctan(tan^-1 でも同じ)
を作るかは、arctan を定義して使う個々の文脈において
決定して言明しなくてはなりません。
黙って使えば世界共通で誰にでも通じる arctan なんて
ありはしないのです。まずは、そこを理解することからです。

その上で、いろんな場所でちょくちょく使われる arctan の
慣習というものはあります。
値域を -π/2 < arctan < π/2 に設定することは多く、
そのときの値を「arctan の主値」と呼ぶ場合があります。
だからといって、断りなく単に arctan と書けば
-π/2 < arctan < π/2 に決まっているわけではない
んですけどね。
値域の言明なしに arctan を使っている文章を見たら、
「ズボラな筆者だな。主値のことを言いたいんだろな」
と想像するだけです。ただの憶測ですが。

思えば、「ナイル川」の「ナイル」は「川」という意味だし、
「サハラ砂漠」の「サハラ」は「砂漠」という意味です。
古い日本語では、「桜花」のことを単に「花」と呼んでました。
何がデフォルトで何が一般かは、その文化に浸かっていると
わからなくなるものです。

脱線しましたが、あなたの言っている arcran√3 が
-π/2 < arctan < π/2 の意味の arctan なら、
不等式を見れば明らかに arctan√３ = π/3 です。

そうではなくて、tanθ = √3 となる θ を見つけたい
という意図で不用意に arcran√3 と書いてしまっただけなら、
θ = π/3 + nπ (n は任意の整数) が一般解です。

質問文にある arctan√3 = π/3, 4π/3 というのは、
tanθ = √3 を 0 ≦ θ < 2π の範囲で解いた場合ですね。

大切なのは、前後の文脈しだいで意味が違ってくる
arctan を説明抜きで使おうとせず、
何がしたいのかを自分の言葉ではっきり書くことです。
数学というと、言葉を端折って記号や式だけ書きたがる
人が少なくないけれど、そういうもんではないんですよ。

この回答へのお礼

素晴らしい解説をありがとうございます。tanθは-π/2≦θ≦π/2で-∞から∞まで取りますね。

お礼日時：2024/05/06 09:09

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/04 20:40

エクセルの関数

ATAN(数値)
は
数値のarctangentを返す.
戻り値の角度は

-π/2<ATAN()<π/2

の範囲のラジアンとなるから

arctan√3=π/3

=ATAN(SQRT(3)) =1.047197551≒π/3

この回答へのお礼

より具体的になりますね。

お礼日時：2024/05/06 08:09

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/05/04 14:25

一般的には 1つの答えになるように 角度の範囲を 指定します。

つまり 「 arctan√3=θ 但し (-π/2)<θ<(π/2) 」の様な 問題になります。
この場合は 答えが π/3 だけになります。
若し 0<θ<2π なら、π/3、4π/3 の ２つあることになります。
θ の取り得る範囲を 指定しないと 答えは無限にあることになります。

この回答へのお礼

数学的定義というのは難しいものです。

お礼日時：2024/05/06 09:10

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/04 11:48

逆三角関数には、一価性の確保（２つの変数の関係を１対１にする）のために、「定義域」を設けるのが普通です。

↓
https://mathlandscape.com/arcsin/
https://manabitimes.jp/math/787

y = arctan(x) の場合には、通常
　-π/2 < y < π/2
（そのとき -∞ <x < ∞ と「1対1」に対応する）
です。

なので、「(4/3)π」はその定義域には含まれません。

この回答へのお礼

数学の定義域とは厳密なものです。

お礼日時：2024/05/06 09:10

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/04 10:57

「arctan」の定義次第で 1つかもしれんし無限にあるかもしれん.

この回答へのお礼

数学的思考とはなんでしょう。

お礼日時：2024/05/06 09:11

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/04 10:16

-π/2<arctan()<π/2

だから

arctan√3=π/3

この回答へのお礼

定義域は数学的です。

お礼日時：2024/05/06 09:11