2022 11.11 09:45に投稿した質問に対する2022.11.11 18:40に頂いた解答に

2022 11.11 09:45に投稿した質問に対する2022.11.11 18:40に頂いた解答について質問が3つあります。


以下は2022.11.11 18:40に頂いた解答です。

「θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

ローラン展開が -2 次以下の項を持つ場合にも、
a(-1) の値を知ることが重要な場面はあります。
それが、あなたが以前に繰り返し質問していた留数としてです。
留数には留数の使い道がありますが、
留数を求めることは近似ではありません。」


以下は3つの質問です。
⑦
>>θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

近似式を作る事と近似値を求める事は違うという事でしょうか？


⑧
>> でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

との事ですが、
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mはどこから出て来たのでしょうか？
出来ればlim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mがどうやって作ったのか導くまでを教えてほしいです。


⑨
また、留数(項の係数)を求める式は
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)だったはずですが、
2022.11.11 18:40の文章を読むと
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mで留数を求めるように書かれている気がします。
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mは何を求めるための式なのでしょうか？




最後に「lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。」

また、お手数ですが、「2022 11.11 09:45に投稿した質問」した質問がどこにあるか、どけにかるかわかりたすか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/24 10:54

tan(z)をローラン展開して

tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+…

とすると

右辺の
-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
が
1次までの近似式です
これを
f1(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
とすると

z=π/2+0.001
での

f1(π/2+0.001)=(-1/0.001)+(0.001/3)
↓-1/0.001=-1000だから
f1(π/2+0.001)
=-1000+0.00033333
=-999.999666666…
が
近似値です

lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ=-∞
も
m=-1
lim_{θ→π/2+0} a(m)(θ-π/2)^m=-∞
も
-∞なので
近似式ではありません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/24 10:50

tan(z)をローラン展開して

tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+…

とすると

右辺の
-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
が
1次までの近似式です
これを
f1(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
とすると

z=π/2+0.001
での

f1(π/2+0.001)=(-1/0.001)+(0.001/3)
↓-1/0.001=-1000だから
f1(π/2+0.001)
=-1000+0.00033333
=-999.999666666…
が
近似値です

lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ=∞
も
m=-1
lim_{θ→π/2+0} a(m)(θ-π/2)^m=∞
も
∞なので
近似式ではありません

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/24 10:47

tan(z)をローラン展開して

tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+…

とすると

右辺の
-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
が
1次までの近似式です
これを
f1(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
とすると

z=π/2+0.001
で

f1(π/2+0.001)=(-1/0.001)+(0.001/3)
↓-1/0.001=-1000だから
f1(π/2+0.001)
=-1000+0.00033333
=-999.999666666…
が
近似値です

lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ=∞
も
m=-1
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m=∞
も
∞なので
近似式ではありません