2022 11.11 09:45に投稿した質問に対する2022.11.11 18:40に頂いた解答に

2022 11.11 09:45に投稿した質問に対する2022.11.11 18:40に頂いた解答について質問が3つあります。


以下は2022.11.11 18:40に頂いた解答です。

「θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

ローラン展開が -2 次以下の項を持つ場合にも、
a(-1) の値を知ることが重要な場面はあります。
それが、あなたが以前に繰り返し質問していた留数としてです。
留数には留数の使い道がありますが、
留数を求めることは近似ではありません。」


以下は3つの質問です。
⑦
>>θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと
sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

近似式を作る事と近似値を求める事は違うという事でしょうか？


⑧
>> でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

との事ですが、
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mはどこから出て来たのでしょうか？
出来ればlim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mがどうやって作ったのか導くまでを教えてほしいです。


⑨
また、留数(項の係数)を求める式は
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)だったはずですが、
2022.11.11 18:40の文章を読むと
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mで留数を求めるように書かれている気がします。
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mは何を求めるための式なのでしょうか？




最後に「lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。」

の文章を2022 11.11 09:45に投稿した質問に対して2022.11.14 13:49に頂いた解答の
質問者さんからのお礼に確認として書いたローラン展開についての使い道として付け加えさせて頂きます。

質問者からの補足コメント

• 質問⑨に関しては
  留数(項の係数)を求める式は
  lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)ではなく、a(n)=lim_{θ→π/2}(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)}でした。

    補足日時：2022/11/19 10:40

• あの質問に答えて頂けないでしょうか。
  私の理解の低さがご迷惑をおかけしている事は承知ではありますが、途中で投げ出されるのは尻切れトンボになってしまい困ります！
  
  どうかお力を貸してください。
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/11/20 14:22

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/17 20:50

⑦

∞発散が判っている極限を評価するときに、
∞である値を近似したって何の意味もないでしょう？
∞は∞なんですから。
∞発散を近似する方法として、それがどのくらい速く増大するか
を評価することには興味がある場合があります。
その話を既に繰り返し繰り返し説明したんですがね。
同じ話を何回しても、聞く耳がなければ無駄でしかないんでしょう。

⑧
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ の増大の速さを評価する方法としては、
lim_{θ→π/2+0} f(θ) = +∞ となる既知の何らかの f(θ) を持ってきて
lim_{θ→π/2+0} (sinθ/cosθ) - f(θ) とか
lim_{θ→π/2+0} (sinθ/cosθ) / f(θ) とかを
計算してみることが一法となります。 その中で、
f(θ) = (θ-π/2)^m {mは自然数の定数} を使ってみるのが
ローラン展開を使って lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を評価する方法
だよと言っているわけです。

⑨
せめて「留数」の定義を知ってから相談しろ、としか言えない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

⑦の解答に関しては、θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ の近似式を作っても∞になるし、
sinθ/cosθ の近似値も∞になるため近似式や近似値を求める事は何の意味もないとわかりました。


⑧の解答に関しては、
増大の速さを評価する方法として
f(θ) = (θ-π/2)^m {mは自然数の定数}を含んだ
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mのような式を作り使ってたり、
他にはlim_{θ→π/2+0} (sinθ/cosθ) - f(θ) とか
lim_{θ→π/2+0} (sinθ/cosθ) / f(θ)などの式を作り使って増大の速さを評価すると言う事でしょうか？

もう一つ質問があるのですが、

f(θ) = sinθ/cosθなのに、なぜ
f(θ) = (θ-π/2)^m {mは自然数の定数}と出来たのですか？


⑨の解答に関しては、留数とはその点のまわりで周回積分した値のことです。⑧に書いた文章より、lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^mは増大の速さを評価するためにあると言う認識で良いでしょうか？

お礼日時：2022/11/17 22:21