指数関数と階乗。グラフで表したらどっちが強いですか？

指数関数と階乗。グラフで表したらどっちが強いですか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/23 21:35

「Starlingの公式（Starlingの近似）」を調べてみればわかると思う。

この回答へのお礼

階乗を使わずに式を使って近似値を求められるのは凄いですね！

お礼日時：2024/04/23 21:39

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/24 09:02

n が大きいときの e^n と n！ を比較するって話ですか？

n！ は 1 から n までの自然数の積なので、1 から n までの相乗平均の n 乗です。
定数の n 乗より大きいのは、解るでしょう。

n^n と n！ を比較するって話なら、
これも同様に考えて n^n のほうが強いって解りそうですが...
もう少し説明するなら、
n^n ÷ n！ = { n・n・n・…・n・n } / { n・(n-1)・(n-2)・…・2・1 }
　　　　　= { n/n }・{ n/(n-1) }・{ n/(n-2) }・…・{ n/2 }・{ n/1 }
　　　　　> 1・1・1・…・1・n
この比は、 n→∞ のとき →∞ になりますね。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/26 06:35

No.1 へのコメントについて。

調べたんですね。でしたら：

[1] ある自然数n (n>0) を一つ決める。nが幾つであっても、そのnについてn! と a^n (aのn乗) が等しくなる定数aは存在し、実際
　　a = (n!)^(1/n)
とすれば良い。

[2] このとき、例えば
　　a^(2n) < (2n)!
であることは
　　a^(2n) / (2n)!
　　　= (a^n)^2 / (2n)!
　　　= (n!)(n!) / (2n!)
　　　= (n!) / ((n+1)(n+2) ... (n+k) ... (2n-1)(2n))
　　　= (1/(n+1)) (2/(n+2)) ... (k / (n+ k)) … (n / (2n))
であり、そして1〜nの範囲のどのkについても
　　(k / (n+ k)) < 1
であることから分かる。

[3] かくて、n! ≦ a^n であり続けるためには、nが大きいほどaも大きくする必要がある。言い換えれば、aは定数ではなくてnの関数 a(n)で、
　　a(n) ≧ (n!)^(1/n)
でなくてはならない。このa(n)は、nが大きくなるほどa(n)もどんどん大きくなって、どんな定数をも追い抜いてしまう。
　以上から、「aがどんな定数でも、aの冪乗は階乗に"勝てない"」と分かるでしょう。

[4] さて、この関数a(n)がどんな増え方をするものであるかは、Starlingの公式を使えば考えれられる。ご自分で確かめられよ。