A 回答 (10件)
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No.10
- 回答日時:
積分記号
∫
から
dx
までの間の変数xは
∫
から
dx
までの間だけ有効な局所変数なので
どんな変数にでも置き換えることができるのです
x=π/2-tと置いたときの
x
と
costをcosxに書き換えたり、sintをsinxに書き換えた
x
は
同じ変数名を使ってはいるけれども
全く別のものなのです
No.9
- 回答日時:
おまけ.
そこのやりかたでわからないというなら, 次のように考えてみたらどうだろうか:
I を
・x=t とおいて t で表す
・x=π/2-t とおいて t で表す
No.8
- 回答日時:
cos とか x = π/2 - t とか関係なく、積分変数は置き換えることができます。
一般に、∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(t) dt です。
例えば f(x) =2x なら、∫[a,b] f(x) dx = b^2 - a^2 = ∫[a,b] f(t) dt ですね。
I + J を後でひとつのインテグラルにまとめるために
I = ∫[0~π/2] (sin x)/(sin x + cos x) dx と
J = ∫[0~π/2] (cos t)/(cos t + sin t) dt の積分変数を揃えたかったわけですが、
これを dx に揃えたから解りにくくなったのでしょう。
冒頭に書いたように、積分変数は置き換えることができるので、
I = ∫[0~π/2] (sin u)/(sin u + cos u) du と
J = ∫[0~π/2] (cos u)/(cos u + sin u) du とでも置き換えれば、
I + J = ∫[0~π/2] (sin u + cos u)/(sin u + cos u) du
= ∫[0~π/2] 1 du = π/2 です。
あとは、 写真の解答にあるように I = J より I = J = π/4 になります。
I, J の積分変数を揃えた話と、
x = π/2 - t の置換積分で I = J を示した話には
何の関係もないのでした。
積分変数を揃えるとき、もとの x なんか使うからややこしいだけです。
ちな、この解答の計算手法は、 King property と言って
とある界隈ではつとに有名です。
No.7
- 回答日時:
積分記号
∫
から
dt
までの間の変数tは
∫
から
dt
までの間だけ有効な局所変数なので
どんな変数にでも置き換えることができるのです
∫{0~π/2}cost/(cost+sint)dt
=[cost/(cost+sint)のtを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
と
∫{0~π/2}cosx/(cosx+sinx)dx
=[cosx/(cosx+sinx)のxを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
は
等しい
No.6
- 回答日時:
その○かこみの左辺=∫[0~π/2](cost/(cost+sint))dt
になるのはわかりますね。
これは
∫[0~π/2](cosx/(cosx+sinx))dxをx=tとおいて
置換積分したものと解釈することができます:
x=tとおけばtが0からπ/2変わる間にxも0からπ/2変わり
dx=dtだから
∫[0~π/2](cost/(cost+sint))dt
=∫[0~π/2](cosx/(cosx+sinx))dx です。
No.5
- 回答日時:
よく考えてください!確かに その部分をみれば理解しにくいのですが
その部分の全体をみれば その部分の積分は定積分ですね つまり
定数だから t も x も 変数なのでどんな変数でもいいわけです
ここで tからxにしたわけは 単に xの方が見慣れているからで
tのままで計算しても差し支えませんね!
No.4
- 回答日時:
積分記号
∫
から
dt
までの間の変数tは
∫
から
dt
までの間だけ有効な局所変数なので
どんな変数にでも置き換えることができるのです
∫{0~π/2}sint/(sint+cost)dt
=[sint/(sint+cost)のtを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
と
∫{0~π/2}sinx/(sinx+cosx)dx
=[sinx/(sinx+cosx)のxを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
は
等しい
No.3
- 回答日時:
鉛筆で丸を付けた部分では
t = π/2 - x
と置いた「x」とは全く関係なく、単に「変数の記号」を「t」から「x」に書き換えているだけです。
変数を t のまま積分してもよいが、「成分するときの変数は x と書く」と思い込んでいる人がいるから、そう表記を変更しているだけ。
まあ、積分範囲を「マイナス」でひっくり返すついでにそうしているのでしょう。
「変数」は仮の「記号」であって、「固有名詞」ではないと考えればよいです。
変数変換で
「t = π/2 - x とおく」
というときには「固有名詞」に近い扱いをしているので、そういった「使い分け」ができる「柔軟なアタマ」にしておきましょう。
No.2
- 回答日時:
cost=cos(π/2-x)=sinxとなり、costはcosxにはならないと思うのですが...
その通りですが、問題文に使用されているのは、
cosx,sinxですので、costをsinxに変換したのに、何故、
sintをcosxに変換しないのですか。
No.1
- 回答日時:
定積分において, 「積分している変数」はその定積分の中でしか意味を持たない. だから (他の変数と衝突しない限りにおいて) 自由に名前を変えてかまわない.
あるいは, x = π/2-t とすることにより積分変数を x から t に変えたのだから, その前に「x を積分変数として使っていた」ことはきれいさっぱり忘れてしまえ.
なおこの話において三角関数は全く無関係.
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