A 回答 (14件中1~10件)
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No.14
- 回答日時:
補足日時:2024/04/07 17:55 は間違い
補足日時:2024/04/07 19:39 は間違い
補足日時:2024/04/11 16:28 も間違い
当初の質問
の
a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が
正しい
No.13
- 回答日時:
相変わらずだなあ(笑)
過去の投稿から推測すると、この質問者の本当に知りたいことは、ローラン展開の定義
f(z) = ∑[n=-∞→∞]a_n(z-a)^n
a_n = (1/2πi)∮_C f(z)/(z-a)^(n+1)dz ……※
にしたがって、※ を使ってa_nを計算するにはどうしたらいいのかということなのだろう。
それならば a_n を求めることが極めて厄介なtan(z)ではなく、この質問者が過去に何度も投稿していた 1/(z^2-1) などでやればいいと思うのだが、なんでわざわざtan(z)をダシにするのか。No.1 の解答を見てもわかる通り n=1 のときの a(1) を求めるのでさえなかなか大変だ。
そのa(1)の計算例も過去に何度もある。このままでは、一生をローラン展開と過ごすことになるだろう(笑)。
ま、フェルマーの最終定理と一生過ごすような人もいるので、それも悪くはないか。
No.12
- 回答日時:
「
a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)の式においてn=1の時のa(1)の値はいくつでしょうか?
」
に対して
#1の方が
a(1)=1/3
と答えているのにもかかわらず
2024.4.7 17:55の補足で
「
a(n)=-1
」
が正しいか質問している
n=1のときa(n)=1/3 となるのだから
「
a(n)=-1
」
は誤りである
a(n)=-1 となるのは n=-1 のときだけで
n≠-1のときは a(n)≠-1 だから
2024.4.7 17:55の補足
「
a(n)=-1
」
は誤りである
a(-1)=-1
でなければならない
No.11
- 回答日時:
2024.4.7 17:55の補足の誤りは
a(n)
は誤りで
a(-1)
が正しい
=res(tan(z),a)
は誤りで
=res(tan(z),π/2)
が正しい
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
は誤りで
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
が正しい
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
は誤りで
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
が正しい
=lim[z->a](z-a)tan(z)
は誤りで
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
が正しい
No.10
- 回答日時:
lim_{z→a}g(z)(z-a)^(k-1)が発散し
lim_{z→a}g(z)(z-a)^kが収束するとき
g(z)はz=aでk位の極をもつという
g(z)がz=aでk位の極をもつとき
res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1)g(z)(z-a)^k
が成り立つけれども
tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の z=π/2 は
1位ではないn+2位の極だから
k=1ではなく
k=n+2
No.9
- 回答日時:
補足日時:2024/04/07 19:39
tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の z=π/2 は
1位
ではない
n+2位
の極だから
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=
1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
は間違い
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はz=π/2で n+2 位 の極をもつから
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=
1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
No.7
- 回答日時:
No.5 の解答は
あくまでres(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2) に対する解答です。
あなたの
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
云々は
まちがっています。
No.6
- 回答日時:
補足日時:2024/04/07 17:55 は間違い
a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1
補足日時:2024/04/07 19:39 は間違い
a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
補足日時:2024/04/11 16:28 も間違い
lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
にはならない
1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
に
なる
ありがとうございます。
「a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1」
に関しては正しくは2024.4.7 17:55の補足に
「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
と書きましたが、
「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
と
「a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1」
に関しては何が間違いなのでしょうか?
どうか何を間違えているのか教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。
No.5
- 回答日時:
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のz=π/2での留数ですか?
zcotzのよく知られたマクローリン展開を使うと
f(z)のz=π/2でのローラン展開が
-(z-π/2)cot(z-π/2)のπ/2でのテーラー展開
-1+Σ[k=1~∞]{2^(2k)Bk/(2k)!(z-π/2)^(2k)}を
(z-π/2)^(n+2)で割ったものになる。Bkはべルヌーイ数。
f(z)のπ/2での留数はその回りのローラン展開の(z-π/2)^-1
の項の係数だから、上の展開から求める留数は
nが偶数のとき 0 になり
nが奇数のとき 2^(2m)Bm/(2m)! ただしm=(n+1)/2
になります。
ありがとうございます。
こちらの解答は
「a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
の
「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
は見当たりませんが、
「a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
」に関する解答なのでしょうか?
どうかお願い致します。
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補足で申し訳ありません。
以下の計算は正しいでしょうか?
もし間違えている場合は正しい計算を教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。
a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1
ありがとうございます。
度々申し訳ありません。
a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はいくつになるでしょうか?
出来ればa(n)
「=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
の
「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」がいきつになるかを教えて頂きたいです。
どうかよろしくお願い致します。