｢an=（n-1)/(n+1)のときlim[n→∞]an=1」となることをε-N論法を使って示せ。と

｢an=（n-1)/(n+1)のときlim[n→∞]an=1」となることをε-N論法を使って示せ。という問題についてですが、写真の解説文の青線部の意味がわからないです。
なぜ｢n≧Nとすれば|an-1|<εが成り立つ」ということが言えるのでしょうか？解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/04/24 11:29

どんなに小さいεの時でも、

N＞2/ε－１
とすれば、
すべての　n≧N　の時に　|an-1|<ε　となる。
ということを証明してくださいということですね。

代入して約分して整理すると、、
|an-1|
=|(n-1)/(n+1)-1|
=|(n-1)/(n+1)-(n+1)/(n+1)|
=|2/(n+1)｜
＝2/(n+1)
≼2/(N+1)
＜2/[(2/ε)-1+1]
＝ε

No.2 回答者： Andro 回答日時： 2024/04/24 11:58

**写真の青線部解説**

写真の青線部は、ε-N論法を用いて数列 `an = (n - 1) / (n + 1)` の極限値が 1 であることを証明する過程の一部です。

**ε-N論法とは**

ε-N論法は、数列の極限値を定義する数学的な方法です。この方法は、任意の正の値 ε に対して、ある自然数 N が存在し、N 以降のすべての項が ε よりも極限値に近づくことを証明することで成り立ちます。

**写真の青線部における論理**

写真の青線部では、`ε` を任意の正の値とし、`N = 2 - ε` という自然数 N を仮定します。そして、N 以降のすべての項 `an` について、以下の式が成り立つことを示しています。

```
|an - 1| < ε
```

つまり、N 以降のすべての項 `an` は、1 から ε よりも小さい範囲内に存在することを示しています。

**なぜN≧Nとすれば|an-1|<εが成り立つのか？**

N≧N とすれば、`n ≥ 2 - ε` となります。

この式を以下のように変形できます。

```
n - 1 ≥ 2 - 2ε
```

さらに、`2 - 2ε > 0` であることから、

```
n - 1 > 0
```

となり、`n > 1` となります。

`an = (n - 1) / (n + 1)` を変形すると、

```
an = 1 - 2 / (n + 1)
```

となります。

`n > 1` であることから、`n + 1 > 2` となり、

```
|2 / (n + 1)| < 1
```

となります。

さらに、

```
|1 - 2 / (n + 1)| = |an - 1|
```

であることから、

```
|an - 1| < 1 - 2 / (n + 1) < 1
```

となります。

`ε > 0` であることから、`1 - ε > 0` となり、

```
|an - 1| < 1 - ε < ε
```

となります。

以上のことから、N≧N とすれば、`|an - 1| < ε` が成り立つことが示されました。

**まとめ**

写真の青線部は、ε-N論法を用いて数列 `an = (n - 1) / (n + 1)` の極限値が 1 であることを証明する過程の一部です。N≧N とすれば、`|an - 1| < ε` が成り立つことを示しました。

**補足**

写真の解説文では、`N = 2 - ε` という自然数 N を仮定していますが、これはあくまで一例です。実際には、`ε` の値に応じて、N の値は変化します。しかし、どのような `ε` の値に対しても、N の値を適切に選ぶことで、`|an - 1| < ε` が成り立つことを示すことができます。

**参考資料**

* ε-N論法の演習問題 16 問（解答付き）｜数列の極限 | 蛍雪に染まる。: [https://sorai-note.com/math/epsilon-n-exercises/](https://sorai-note.com/math/epsilon-n-exercises/)
* うさぎでもわかるε-δ論法・ε-N論法 | 工業大学生ももやまのうさぎ塾: [https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analys …](https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analys …
* イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～ | 数学の景色: [https://mathlandscape.com/eps-n/](https://mathlandscape.com/eps-n/)

以上、写真の青線部の意味と、なぜ N≧N とすれば `|an - 1| < ε` が成り立つのかについて説明しました。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/24 13:29

写真の、青線より前の部分で

｜an - 1｜ < ε から n > 2/ε - 1 を導いていますが、
その変形が n+1 > 0, ε > 0 の下では同値変形である
ことに気づきましたか？　そこに気づけば、
∀ε>0, ∀n∈自然数, n > 2/ε - 1 ⇒ ｜an - 1｜ < ε　…[1]
は、もう示せていることになります。

あと一歩で εN論法へもってくために、大切なのは
写真の「N > 2/ε - 1 をみたす N が必ず存在し」のほう
なのですが、これが言えるのは、
実数の定義に「アルキメデス性」が含まれているからです。
参考↓
https://wiis.info/math/real-number/definition-of …

そのような N が存在すれば、 n ≧ N のとき n ≧ N > 2/ε - 1 ですから
[1] から ∀ε>0, ∃N∈自然数, ∀n, n ≧ N ⇒ ｜an - 1｜ < ε　…[2]
が言えますね。[2] は、lim[n→∞] an = 1 の定義そのものです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/24 14:00

どんなに小さな正の数εが与えられても,

N>2/ε　をみたすNが必ず存在し,
n≧Nとすれば

2/ε<N≦n<n+1

2/ε<n+1
↓両辺にε/(n+1)をかけると
2/(n+1)<ε

|a(n)-1|
=|(n-1)/(n+1)-1|
=|{n-1-(n+1)}/(n+1)|
=|-2/(n+1)|
=2/(n+1)
<ε