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で返信の続きはありますか。

>残念ながら「~というように1対1に対応させられる」と「~が自然数の部分集合と実数の1対1対応の表」とは, 日本語として全く意味が違う. これは理解してるよね?

いいえまったく理解できません。

「(全は省略)自然数の部分集合の集合と実数はどうやって1対1に対応させるのでしょうか。

() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…




じゃだめなわけでしょ。」という質問に「どこの誰が自然数の部分集合と実数は

() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…




というように対応させられないって書いてるの? 具体的に, どこで誰がそう書いているのか, きちんと指摘してよ.」と言われたら普通は

「自然数の部分集合と実数は

() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…




『というように1対1に対応させられる』よ。そして『これが自然数の部分集合と実数の1対1対応の表』だよ」と言っていると受け取るとは思いませんか。


ちなみに、自然数と自然数の部分集合は1対1に対応させられないというのは一応理解しました。

1=()=0.000…
2=(1,2,3…)=0.111…
3=(1)=0.1000…
4=(2)=0.01000…
5=(1,2)=0.11000…
6=(3)=0.001000…


としたときに、例えば0.101111…と対応する(1,3,4,5,6…)や、0.010111…と対応する(2,4,5,6…)という自然数の部分集合は表に存在しないということですね。

自然数の部分集合と1以上の実数(二進数)を含めたすべての実数を対応させる方法はわかりませんが、難しいとのことなので、聞いてもわからないでしょうからこれはいいです。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    >残念ながら「~というように1対1に対応させられる」と「~が自然数の部分集合と実数の1対1対応の表」とは, 日本語として全く意味が違う. これは理解してるよね?

    結局何が違ったんだろう…

      補足日時:2024/04/25 12:35

A 回答 (1件)

全ての自然数の集合 N の部分集合と実数の間に全単射(一対一対応のこと)を


構成するのは、面倒くさそうでやってみる気がしないが、その全単射が存在することを
全射が存在することと、それとは別に単射が存在することに分けて示すことはできる。

まず、全ての実数の集合 R と区間 (0,1) の間に、
例えば x → (1/π)(arctan x)+(1/2) のように全単射を構成してみる。
これで R と (0,1) に一対一対応がついたので、あとは
N の全ての部分集合の集合 2^N と R との代わりに
2^N と (0,1) の間の全単射を考えれば済む。

2^N の元 S に対して、その定義関数 f を
k∈S のとき f(k)=1, k∉S のとき f(k)=0 のように定義し、
2^N から [0,1] への写像 S → F(S)=Σ[k∈Nについて] f(k)/2^k を考えると、
この F は全射である。 このままでは F(φ)=0, F(N)=1 になってしまうので、
φ と N に対する値だけ、例えば F’(φ)=F’(N)=1/2 のように置き換えた写像
F’ を考えれば、F’ は 2^N から (0,1) への全射である。

一方、k番目に小さい素数を p[k] として、
2^N から (0,1) へ S → G(S)=1/{2Π[k∈Nについて] (p[k+1])^f(k)} を考えると、
G は 2^N から (0,1) の中への単射である。

2^N から (0,1) へ、全射と単射がどちらも存在したから、
2^N と (0,1) は等濃度である。
R と (0,1) の間には全単射が存在して等濃度であったから、
2^N と R も等濃度である。
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この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時:2024/04/23 11:39

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