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前回の質問↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13526618.html

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する


3.141592…→3.141592…
1.414213…→1.414213…
6.661922…→6.661922…
5.138924…→5.138924…
2.901877…→2.901877…
0.222555…→0.222555…




2.対角線論法により、対応表に存在しない実数、例えば0.222086…(この実数をどうやって作ったかわかる方だけ回答してください)が存在するから仮定は誤り

これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって、実際には実数同士間に全単射写像が存在することと矛盾するから、この論理展開は間違ってますよね。とすると、

3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
4.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

からも、「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできないですよね。

に、「全ての実数 x を →x に対応させたのならば、0.222086… は 0.222086… に対応してるでしょ。」と回答された方がいらっしゃるのですが、それでいいなら「すべての実数をすべての自然数に1対1に対応させた」で済みますよね。

そもそも「すべての実数の集合」って存在するんですか。

「すべての実数の集合が存在しないことの証明」

1.すべての実数の集合が存在すると仮定する
2.その集合の元を並べると、対角線論法により、その集合に含まれない実数が現れるから仮定は誤り。

「0.222086… は 0.222086… に対応してる」つまり

0.222086…→        ←0.222086…
    3.141592…→3.141592…
    1.414213…→1.414213…
    6.661922…→6.661922…
    5.138924…→5.138924…
    2.901877…→2.901877…
    0.222555…→0.222555…
    ・
    ・
    ・

というように、対角線論法で作った実数同士を、0.222086…の次は7.355038…同士、次は…というように「対応させ続けられるから」「実数同士間には全単射写像が存在する」と言えるなら同様に

1→      ←0.222086…   ←7.355038…
2→3.141592…
3→1.414213…
4→6.661922…
5→5.138924…
6→2.901877…
7→0.222555…




というように、対角線論法で作った実数は、元の対応をずらして、自然数とも対応させ続けられるので、自然数と実数の間にも全単射写像が存在しますよね。その方は自然数と実数の対応の場合は「未対応の実数が残るから全単射にはならない」ともおっしゃってたのですが、「未対応の実数が残る」のは実数同士の対応でも同じですよね。

に、ある方が

「質問文に書かれていない 0.222086… の作り方が、
小数第 k 位が表の第 k 列の小数の小数第 k 位の数字とは異なる
だったとすれば、その作り方は 0.222086… が
表に載っている(自然数と同数)の(実数の部分集合)の中には無い
ことしか保証しない。
自然数と実数が一対一対応できない(実数のほうが多い)ことは
既に証明されているから、表には全ての実数は載っていない。
0.222086… は、表に載っていない実数のひとつと一致する
というだけの話。こんなものは対角線論法ではない。」

と回答されたのですが、侮蔑とか嘲笑とかの意図は全くなく、本当に意味がわかりませんでした。わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

  • うれしい

    回答ありがとうございました。

      補足日時:2023/07/12 12:07

A 回答 (4件)

根本的に、対角線論法をきちんと理解せず、名前だけで


「1対1対応があると対角線論法で、対応漏れの元が存在する」
的な雑な理解をしているように思われます。

集合S に対して、SxSの集合Δ={(a,a)∈SxS|a∈S} のことを対角線(集合)と呼ぶことがありますが、これと対角線論法は直接関係ありません。
対角線集合はどんな集合でも作れますし、ΔとSとは1対1に対応(全単射;1対1かつ対応しない元はないの意味)しますから、対応漏れの元はありません。

自然数の集合Nと実数の集合Rについて、もし、N→R という全単射(漏れのない1対1対応)があったとすると矛盾する、のカントールによる証明の方法を「対角線論法」と呼んでいるのですから、まずは、この証明を理解してください。
その上でまだ2のようなこと(対角線論法が適用できるから矛盾)をいうのであれば、客観的には理解できてない(する気がない)のと同じですから、数学としてはこれ以上の議論は無駄です。

哲学あたりだと、「対角線論法はおかしい」とか「そもそも実数全体の集合なんて考えられるのか?」とかいう議論にも賛同者が少しはいると思いますよ。
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質問者が意味わからなかった回答を書いた者です。


なるほど、No.2 の言い方は解りやすいですね。
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#1さんがいってるように


表にして並べたものは順に1,2,3,4...と番号を割り振っていって
自然数全体と1:1に対応させることができる、だからその表の数全体は
せいぜい可算の濃度だから可算の濃度よりおおきい濃度の実数全体の
真部分集合に過ぎない、したがってその表にない実数が出てきても
なにも不思議ではない、
実数全体はそこから1つづつとって順に並べてもとりつくせない
ということです。
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>>これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって


何故?
ここで言ってる結論は、"実数を表として並べられない"って事だけです。

表に並べるという事は、そのまま自然数と対応が付く事と同じです。
表として並べられない事⇒全単射写像が存在しない、にはなら無いでしょ?
現に、漏れてる0.22222086…は0.22222086と対応が付くんですから。

3.4は表に並べられないから、自然数とは1:1対応(全単射写像)が存在しないと、言ってる訳です。

実数は定義です。
無いとすれば、別の数学になるでしょう。

現時点では、実数の連続性公理を定めて、その上で定義されてます。
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