代数学の質問です[準同型定理]

次の問題が与えられています。

整数nに対して、φ(n)=i^nと定める。ただし、iは虚数単位。

(1)φは加法群Zから乗法分C^xへの準同型写像であることを示せ。
(2)φの像と核を求めよ。
(3)φに準同型定理を適用するとどのようなことがわかるか。

このうち、(1)と(2)は解答できました。
そして(3)に入ったのですが、理解するのが難しいです。

「どのようなことがわかるか」
これはつまり、「どうして準同型定理を適用するのか」を聞いているのだと思います。
その意味や価値というものを調べてみても、書いてあるところが見つかりません。
どなたか、ご解説・ヒントをください。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tumagie 回答日時： 2015/08/15 19:23

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば更なる意味や価値も見えてくるかもしれませんが, 少なくともこのような問題を解く段階で出題者がそんなことを要求するとは思われません)

※これは余談ですが, 念の為, 一点前の質問に関連して, 初学者向けの注意をしておきます. 前回も二項演算が重要だというようなことを書きましたが, 群は集合と二項演算の組ですから, 本来は上の同型も Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} ではなく (Z/4Z, +) ~= ({1,i,-1,-i}, ⋅) というように群の演算を明記した上で書くべきです. ですが, 一々演算を明記するのは面倒だし, たいていは文脈から判断できるので, 省略して Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} というふうに書くことが多いのです.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
一応、別でレポートは書いてみました。
結局、4の倍数の集合だよってことを言ってほしかったんでしょうか？
どこまで求められているのかが分からないので、返却されたら、それに応じて答えてみます。

お礼日時：2015/08/17 09:23

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/08/15 13:42

準同型写像となる群同士の性質を説明すれば良いと思います。

単位元が準同型写像によって、写像の群の単位元に移るとか、逆元も同様とか、教科者に準同型写像となる場合の性質の説明が書いて無いですか？